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课时跟踪练(六十七)
A组 基础巩固
1．(2019·郑州调研)设函数f(x)＝|x＋a|＋2a.
(1)若不等式f(x)≤1的解集为{x|－2≤x≤4}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若不等式f(x)≥k2－k－4恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)因为|x＋a|＋2a≤1，所以|x＋a|≤1－2a，
所以2a－1≤x＋a≤1－2a，所以a－1≤x≤1－3a.
因为不等式f(x)≤1的解集为{x|－2≤x≤4}，
所以解得a＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝|x－1|－2.
不等式f(x)≥k2－k－4恒成立，
只需f(x)min≥k2－k－4，
所以－2≥k2－k－4，即k2－k－2≤0，
解得－1≤k≤2，
所以实数k的取值范围是[－1，2]．
2．(2019·太原质检)已知函数f(x)＝|x－1|－a(a∈R)．
(1)若f(x)的最小值不小于3，求a的最大值；
(2)若g(x)＝f(x)＋2|x＋a|＋a的最小值为3，求a的值．
解：(1)因为f(x)min＝f(1)＝－a，所以－a≥3，
解得a≤－3，即amax＝－3.
(2)g(x)＝f(x)＋2|x＋a|＋a＝|x－1|＋2|x＋a|.
当a＝－1时，g(x)＝3|x－1|≥0，0≠3，所以a＝－1不符合题意；
当a<－1时，g(x)＝
即g(x)＝
所以g(x)min＝g(－a)＝－a－1＝3，
解得a＝－4.
当a>－1时，同理可知g(x)min＝g(－a)＝a＋1＝3，解得a＝2.
综上，a＝2或a＝－4.
3．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．
解：(1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.
4．(2019·衡水中学质检)已知函数f(x)＝|2x－2|＋|x＋3|.
(1)求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)>＋a的解集包含[2，3]，求实数a的取值范围．
解：(1)依题意得|2x－2|＋|x＋3|≥3x＋2，
当x<－3时，原不等式可化为2－2x－x－3≥3x＋2，
解得x≤－，故x<－3；
当－3≤x≤1时，原不等式可化为2－2x＋x＋3≥3x＋2，
解得x≤，故－3≤x≤；
当x>1时，原不等式可化为2x－2＋x＋3≥3x＋2，无解．
综上所述，不等式f(x)≥3x＋2的解集为.
(2)依题意，|2x－2|＋|x＋3|>＋a在[2，3]上恒成立，
则3x＋1－>a在[2，3]上恒成立．
又因为g(x)＝3x＋1－在[2，3]上为增函数，
所以有3×2＋1－>a，解得a<.
故实数a的取值范围为.
B组 素养提升
5．设函数f(x)＝＋|x|(x∈R)的最小值为a.
(1)求a；
(2)已知两个正数m，n满足m2＋n2＝a，求＋的最小值．
解：(1)f(x)＝
当x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减；
当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增；
所以当x＝0时，f(x)取最小值a＝1.
(2)由(1)知m2＋n2＝1，则m2＋n2≥2mn，得≥2，
由于m＞0，n＞0，
则＋≥2≥2，当且仅当m＝n＝时取等号．
所以＋的最小值为2.
6．(2019·邯郸模拟)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.
(1)求不等式f(x)≤2的解集；
(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围．
解：(1)由f(x)≤2，得或
或
解得0≤x≤5，
故不等式f(x)≤2的解集为[0，5]．
(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝
作出函数f(x)的图象，如图所示．
直线y＝kx－2过定点C(0，－2)，
当此直线经过点B(4，0)时，k＝；
当此直线与直线AD平行时，k＝－2.
故由图可知，k∈(－∞，－2)∪.
7．(2019·唐山模拟)设函数f(x)＝|x＋1|－|x|的最大值为m.
(1)求m的值；
(2)若正实数a，b满足a＋b＝m，求＋的最小值．
解：(1)|x＋1|－|x|≤|x＋1－x|＝1，
所以f(x)的最大值为1，所以m＝1.
(2)由(1)可知，a＋b＝1，
所以＋＝[(a＋1)＋(b＋1)]
＝
≥(2ab＋a2＋b2)＝(a＋b)2＝，
当且仅当a＝b＝时取等号，
所以＋的最小值为.
8．(2019·青岛模拟)设函数f(x)＝|x－1|＋|2x－1|.
(1)解不等式f(x)>3－4x；
(2)若f(x)＋|1－x|≥6m2－5m对一切实数x都成立，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝|x－1|＋|2x－1|＝
所以由不等式f(x)>3－4x，得
或或
解得x>，
所以原不等式的解集为.
(2)f(x)＋|1－x|＝|x－1|＋|2x－1|＋|1－x|
＝2|x－1|＋|2x－1|＝|2x－2|＋|2x－1|≥|2x－2－(2x－1)|＝1，
当且仅当(2x－2)(2x－1)≤0时取等号，
故f(x)＋|1－x|的最小值为1，
又f(x)＋|1－x|≥6m2－5m对一切实数x都成立，
所以1≥6m2－5m，解得－≤m≤1，
所以m的取值范围为.
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