2023版高考数学一轮复习第7章不等式第1节不等关系与一元二次不等式课时跟踪检测理新人教A版.doc

第一节　不等关系与一元二次不等式
A级·根底过关
|固根基|
1.(2023届石家庄市质检)a>0>b，那么以下不等式一定成立的是(　　)
A．a2<－ab B．|a|<|b|
C．> D．>
解析：选C　当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，∴选项A、B、D不一定成立．∵a>0>b，∴>0>，∴>一定成立．应选C．
2．(2023届南宁二中、柳州高中第二次联考)设a>b，a，b，c∈R，那么以下结论正确的选项是(　　)
A．ac2>bc2 B．>1
C．a－c>b－c D．a2>b2
解析：选C　当c＝0时，ac2＝bc2，所以选项A错误；当b＝0时，无意义，所以选项B错误；因为a>b，所以a－c>b－c恒成立，所以选项C正确；当a≤0时，a2<b2，所以选项D错误．应选C．
3．(2023届南昌市一模)a>0，b∈R，那么“a＋b>0〞是“a>|b|成立〞的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　当a＝1，b＝2时，满足a＋b>0，但是a>|b|不成立，即充分性不成立；当a>|b|，a>0时，一定有a＋b>0成立，所以“a＋b>0〞是“a>|b|成立〞的必要不充分条件，应选B．
4．(2023届成都市一诊)假设关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，那么实数a的取值范围为(　　)
A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
解析：选B　解法一：当x＝0时，不等式1≥0恒成立；当x>0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－，又－≤－2，当且仅当x＝1时取等号，所以2a≥－2，解得a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
解法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a，当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1>0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；当－a>0，即a<0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，解得－1≤a<0.综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
5．(2023届湖南衡阳一模)假设a，b，c为实数，且a<b<0，那么以下结论正确的选项是(　　)
A．ac2<bc2 B．<
C．> D．a2>ab>b2
解析：选D　选项A，∵c为实数，∴可以取c＝0，得ac2＝bc2＝0，应选项A不正确；选项B，－＝，∵a<b<0，∴b－a>0，ab>0，∴>0，即>，应选项B不正确；选项C，∵a<b<0，∴取a＝－2，b＝－1，那么＝＝，＝2，此时<，应选项C不正确；选项D，∵a<b<0，∴a2－ab＝a(a－b)>0，∴a2>ab.又∵ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，应选项D正确，应选D．
6．(2023届河南濮阳3月模拟)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α<x<β}(α>0)，那么不等式cx2＋bx＋a<0的解集是(　　)
A． B．∪
C．(α，β) D．(－∞，α)∪(β，＋∞)
解析：选B　假设不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α<x<β}(α>0)，那么α，β是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，且a<0，∴α＋β＝－，αβ＝.∵不等式cx2＋bx＋a<0可以化为x2＋x＋1>0，∴αβx2－(α＋β)x＋1>0，即(αx－1)(βx－1)>0.又0<α<β，∴>>0，∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为，应选B．
7．(2023届广东梅州3月模拟)关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有3个正整数，那么实数m的取值范围为(　　)
A．(5，6] B．(5，6)
C．(2，3] D．(2，3)
解析：选A　关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0可化为(x－m)(x－2)<0，∵该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x|2<x<m}，且5<m≤6，即实数m的取值范围是(5，6]．应选A．
8．(2023年天津卷)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________．
解析：∵3x2＋x－2<0，即(3x－2)(x＋1)<0，∴－1<x<.
答案：
9．(2023届河南中原名校联考)f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－2x，那么不等式f(x)>x的解集用区间表示为______________．
解析：设x<0，那么－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝－x2－2x.又f(0)＝0，所以f(x)＝于是不等式f(x)>x等价于或解得x>3或－3<x<0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞)．
答案：(－3，0)∪(3，＋∞)
10．(2023届原创冲刺卷一)假设f(x)表示x－2和3x2－5x－2中的较大者，那么函数f(x)的最小值是________．
解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝x－2和函数y＝3x2－5x－2的图象(图略)，易知函数f(x)的最小值是－2.
答案：－2
11．假设关于x的不等式x2－ax＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，那么a的取值范围为________．
解析：令f(x)＝x2－ax＋1，由题意可得解得2≤a<.
答案：
12．(2023届江苏启东中学模考)△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，那么的取值范围为________．
解析：由及三角形的三边关系得
∴∴两式相加得，
0<2×<4，∴的取值范围为(0，2)．
答案：(0，2)
B级·素养提升
|练能力|
13.(2023年全国卷Ⅱ)假设a>b，那么(　　)
A．ln(a－b)>0 B．3a<3b
C．a3－b3>0 D．|a|>|b|
解析：选C　解法一：由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0<a－b<1时，ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D不正确．应选C．
解法二：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)<0，3a>3b，|a|<|b|，故排除A、B、D．应选C．
14．(2023届湖南湘潭3月联考)假设不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(－16，0) B．(－16，0]
C．(－∞，0) D．(－8，8)
解析：选D　∵不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，
∴Δ＝a2－4×4×4<0，解得－8<a<8，∴实数a的取值范围是(－8，8)．应选D．
15．(2023届河北正定中学月考)f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)假设不等式f(x)>(a－1)x2＋(2a＋1)x－3a－1对任意的x∈[－1，1]恒成立，求实数a的取值范围；
(2)假设a<0，解不等式f(x)>1.
解：(1)原不等式等价于x2－2ax＋2a＋1>0对任意的x∈[－1，1]恒成立，设g(x)＝x2－2ax＋2a＋1＝(x－a)2－a2＋2a＋1，x∈[－1，1]．
①当a<－1时，g(x)min＝g(－1)＝1＋2a＋2a＋1>0，无解；
②当－1≤a≤1时，g(x)min＝g(a)＝－a2＋2a＋1>0，解得1－<a≤1；
③当a>1时，g(x)min＝g(1)＝1－2a＋2a＋1>0，解得a>1.
综上，实数a的取值范围为(1－，＋∞)．
(2)f(x)>1，即ax2＋x－a－1>0，即(x－1)(ax＋a＋1)>0，因为a<0，所以(x－1)<0.
因为1－＝，
所以当－<a<0时，1<－，
解集为；
当a＝－时，不等式可化为(x－1)2<0，不等式无解；当a<－时，1>－，
解集为.
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