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一元二次不等式的解法
课时作业
1．以下不等式中解集为R的是( )
A．－x2＋2x＋1≥0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<0
答案 C
解析 在C项中，对于方程x2＋6x＋10＝0，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式的解集为R.
2．假设0<m<1，那么不等式(x－m)<0的解集为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 当0<m<1时，m<，故不等式(x－m)<0的解集为.
3．(2022·潍坊模拟)函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3)
答案 D
解析 由题意知即
故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．应选D.
4．假设集合A＝{x|x2－x<0}，B＝{x|(x－a)(x＋1)<0}，那么“a>1”是“A∩B≠∅〞的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由题意得A＝{x|0<x<1}，因为A∩B≠∅，所以只需要满足条件a>0即可，
所以“a>1〞是“A∩B≠∅〞的充分不必要条件．
5．(2022·吉林模拟)不等式x2－2x＋m>0对一切实数x恒成立的充要条件是( )
A．m>2 B．0<m<1
C．m>0 D．m>1
答案 D
解析 假设不等式x2－2x＋m>0对一切实数x恒成立，那么对于方程x2－2x＋m＝0，Δ＝4－4m<0，解得m>1，所以m>1是不等式x2－2x＋m>0对一切实数x恒成立的充要条件，结合选项知选D.
6．(2022·郑州模拟)关于x的不等式>0的解集是(－∞，－1)∪，那么a的值为( )
A．－1 B.
C．1 D．2
答案 D
解析 由题意可得a≠0且不等式等价于a(x＋1)>0，由解集的特点可得a>0且＝，故a＝2.应选D.
7．(2022·江西九江模拟)不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，那么实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.∪{2}
答案 B
解析 当a＝2时，不等式变为4x－1≥0，解得x≥，不符合题意；当a＝－2时，不等式的解集为空集；当a≠±2时，不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，即(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0恒成立．
∴解得－2<a<.
综上可知，实数a的取值范围是.应选B.
8．不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，那么不等式2x2＋bx＋a<0的解集为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题意，知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根，由根与系数的关系，得⇒
∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0.解得－1<x<，应选A.
9．假设关于x的不等式x2－ax＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，那么a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 令f(x)＝x2－ax＋1，那么f(0)＝1>0，由题意可得解得2≤a＜.
10．设实数a∈(1,2)，关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为( )
A．(3a，a2＋2) B．(a2＋2,3a)
C．(3,4) D．(3,6)
答案 B
解析 由x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，得(x－3a)(x－a2－2)<0，∵a∈(1,2)，∴3a>a2＋2，∴关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为(a2＋2,3a)．应选B.
11．(2022·桂林模拟)函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，假设关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，那么实数c的值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
答案 C
解析 由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－.
∵f(x)的值域为[0，＋∞)，
∴b－＝0，即b＝，∴f(x)＝2.
又f(x)<c，∴2<c，
即－－<x<－＋.
∴
②－①得2＝6，∴c＝9.
12．(2022·广西陆川中学月考)关于x的不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是( )
A．a<1 B．a≤1
C．0<a<1 D．a<0
答案 B
解析 由题意得，当a＝0时，原不等式化为－2x＋1<0，原不等式的解集为；当a>0时，要使得关于x的不等式的解集非空，那么Δ＝4－4a>0⇒a<1，即0<a<1；当a<0时，不等式的解集非空恒成立．所以关于x的不等式ax2－2x＋1<0的解集非空时，实数a的取值范围是a<1.所以关于x的不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是a≤1，应选B.
13．不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________．
答案 {x|x<－5或x>5}
解析 2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔
(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－(舍去)⇔x>5或x<－5.
14．假设不等式x2＋ax－2<0在区间[1,5]上有解，那么a的取值范围是________．
答案 (－∞，1)
解析 不等式x2＋ax－2<0在区间[1,5]上有解，a<－x，x∈[1,5]有解，显然g(x)＝－x在[1,5]上单调递减，g(x)max＝g(1)＝1，∴a<1.
15．假设不等式a·4x－2x＋1>0对一切x∈R恒成立，那么实数a的取值范围是________．
答案
解析 不等式可变形为a>＝x－x，
令x＝t，那么t>0.
∴y＝x－x＝t－t2＝－2＋，因此当t＝时，y取最大值，故实数a的取值范围是.
16．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，那么实数k的取值范围是________．
答案 [－3,2)
解析 由x2－x－2>0，可得x>2或x<－1，又由2x2＋(2k＋5)x＋5k<0，可得(2x＋5)(x＋k)<0，如下图，由条件可得解得－3≤k<2.
17．二次函数f(x)满足f(－2)＝0，且2x≤f(x)≤对一切实数x都成立．
(1)求f(2)的值；
(2)求f(x)的解析式．
解 (1)∵2x≤f(x)≤对一切实数x都成立，
∴4≤f(2)≤4，∴f(2)＝4.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(－2)＝0，f(2)＝4，
∴⇒
∵ax2＋bx＋c≥2x恒成立，即ax2－x＋2－4a≥0恒成立，∴a>0且Δ＝1－4a(2－4a)≤0⇒(4a－1)2≤0，
∴a＝，c＝2－4a＝1，故f(x)＝＋x＋1.
18．设函数f(x)＝x2－ax＋b.
(1)假设不等式f(x)<0的解集是{x|2<x<3}，求不等式bx2－ax＋1>0的解集；
(2)当b＝3－a时，对任意的x∈(－1,0]都有f(x)≥0成立，求实数a的取值范围．
解 (1)因为不等式x2－ax＋b<0的解集是{x|2<x<3}，所以x＝2，x＝3是方程x2－ax＋b＝0的解．
所以即故不等式bx2－ax＋1>0为6x2－5x＋1>0.解不等式6x2－5x＋1>0，得其解集为.
(2)当b＝3－a时，f(x)≥0在区间(－1,0]上恒成立转化为x2－ax＋3－a≥0在区间(－1,0]上恒成立，即a(x＋1)≤x2＋3在区间(－1,0]上恒成立，等价于a≤，那么a≤min.
设t＝x＋1，t∈(0,1]，
u＝＝＝t＋－2，那么
u′＝1－<0，所以当t∈(0,1]时，u关于t单调递减，
所以min＝1＋4－2＝3，即a≤3.
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