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第一节 不等关系与不等式
A级·根底过关|固根基|
1.(一题多解)设a，b∈R，假设a＋|b|<0，那么以下不等式成立的是( )
A．a－b>0 B．a3＋b3>0
C．a2－b2<0 D．a＋b<0
解析：选D 解法一：当b≥0时，a＋b<0；当b<0时，a－b<0，所以a<b<0，所以a＋b<0.应选D.
解法二：因为b≤|b|，所以a＋b≤a＋|b|<0，即a＋b<0，应选D.
2．a>b，c>d，且c，d不为0，那么以下不等式成立的是( )
A．ad>bc B．ac>bd
C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d
解析：选D 由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d.应选D.
3．(一题多解)假设m<0，n>0且m＋n<0，那么以下不等式中成立的是( )
A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<n
C．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m
解析：选D 解法一(取特殊值法)：令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．
解法二：m＋n<0⇒m<－n⇒n<－m，又由于m<0<n，故m<－n<n<－m成立．
4．设a<b<0，c>0，那么以下不等式中不成立的是( )
A.> B.>
C．|a|c>－bc D.>
解析：选B 由题设得a<a－b<0，所以有<⇒<，所以B中式子不成立．
5．(2023届湖北黄冈检测)x>y>z，且x＋y＋z＝0，以下不等式中成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
解析：选C 因为x>y>z，
所以3x>x＋y＋z＝0，3z<x＋y＋z＝0，
所以x>0，z<0，
由得xy>xz.应选C.
6．(2023届扬州模拟)假设a1<a2，b1<b2，那么a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．
解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，
因为a1<a2，b1<b2，
所以(a1－a2)(b1－b2)>0，
即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
7．a，b∈R，那么a<b和<同时成立的条件是________．
解析：假设ab<0，由a<b两边同除以ab得，>，
即<；假设ab>0，那么>.
所以a<b和<同时成立的条件是a<0<b.
答案：a<0<b
8．π<α＋β<，－π<α－β<－，那么2α－β的取值范围是________．
解析：设2α－β＝x(α＋β)＋y(α－β)＝(x＋y)α＋(x－y)β，∴解得
∴<(α＋β)<，－<(α－β)<－，
∴－π<(α＋β)＋(α－β)<，∴2α－β∈.
答案：
9．设实数a，b，c满足①b＋c＝6－4a＋3a2，②c－b＝4－4a＋a2.试确定a，b，c的大小关系．
解：因为c－b＝(a－2)2≥0，所以c≥b，
易得2b＝2＋2a2，所以b＝1＋a2，
所以b－a＝a2－a＋1＝＋>0，
所以b>a，从而c≥b>a.
10．假设a>b>0，c<d<0，e<0.求证：>.
证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0.
又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0.
所以(a－c)2>(b－d)2>0.
所以<.
又因为e<0，所以>.
B级·素养提升|练能力|
11.a>0，且a≠1，m＝aa2＋1，n＝aa＋1，那么( )
A．m≥n B．m>n
C．m<n D．m≤n
解析：选B 由题易知m>0，n>0，两式作商，得＝a(a2＋1)－(a＋1)＝aa(a－1)，当a>1时，a(a－1)>0，所以aa(a－1)>a0＝1，即m>n；当0<a<1时，a(a－1)<0，所以aa(a－1)>a0＝1，即m>n.综上，对任意的a>0，且a≠1，都有m>n.应选B.
12．x，y∈R，且x>y>0，那么( )
A.－>0
B．sin x－sin y>0
C.－<0
D．ln x＋ln y>0
解析：选C －＝<0，所以A错；当x＝π，y＝时，sin x－sin y＝0－1＝－1<0，所以B错；函数y＝在R上单调递减，又x＞y＞0，所以<，即－<0，所以C正确；当x＝1，y＝时，ln x＋ln y<0，所以D错．
13．(2023届文安期末)假设b<a<0，给出以下不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是( )
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
解析：选C ①<0<，∴<，正确；
②|a|＋b<0，∴不正确；
③由可得：<，∴－>－，又a>b，∴a－>b－，正确；
④由可得：a2<b2，可得：ln a2<ln b2，∴不正确．
其中正确的不等式是①③.
应选C.
14．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．〞乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．〞这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比拟两车队的收费哪家更优惠．
解：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
那么y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.
所以y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx＝x.
当n＝5时，y1＝y2；
当n>5时，y1<y2；
当n<5时，y1>y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．
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