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直线的倾斜角与斜率、直线的方程
课时作业
1．(2022·广东广州模拟)点A(1，)，B(－1,3)，那么直线AB的倾斜角是( )
A．60° B．30°
C．120° D．150°
答案 C
解析 设直线AB的倾斜角为α.∵A(1，)，B(－1，3)，∴kAB＝＝－，∴tanα＝－，∵α∈[0°，180°)，∴α＝120°.应选C．
2．三点A(2，－3)，B(4,3)，C在同一条直线上，那么k的值为( )
A．12 B．9
C．－12 D．9或12
答案 A
解析 由kAB＝kAC，得＝，解得k＝12.应选A．
3．以下命题中，正确的选项是( )
A．直线的斜率为tanα，那么直线的倾斜角是α
B．直线的倾斜角为α，那么直线的斜率为tanα
C．直线的倾斜角越大，那么直线的斜率就越大
D．直线的倾斜角α∈∪时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
答案 D
解析 因为只有当直线的斜率为tanα，且α∈[0，π)时，α才是直线的倾斜角，所以A错误；因为任一直线的倾斜角α∈[0，π)，而当α＝时，直线的斜率不存在，所以B错误；当α∈时，直线的斜率大于0；当α∈时，直线的斜率小于0，所以C错误．选D．
4．(2022·银川模拟)在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，那么直线AB的方程为( )
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y－10＝0
C．3x－y＝0 D．3x＋y－6＝0
答案 D
解析 因为AO＝AB，所以∠AOB＝∠ABO，即kAB＝－kOA＝－3.所以直线AB的方程为y－3＝－3(x－1)，即3x＋y－6＝0.应选D．
5．(2022·荆州模拟)两直线－＝a与－＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是( )
答案 B
解析 直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．应选B．
6．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，直线都通过定点( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 直线方程可化为2x＋1－m(y＋3)＝0，令得∴直线恒过定点.应选D．
7．(2022·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，那么a，b，c应满足( )
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
答案 A
解析 由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.
8．(2022·海淀区模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，那么其斜率的取值范围是( )
A．－1＜k＜ B．k＞1或k＜
C．k＞或k＜1 D．k＞或k＜－1
答案 D
解析 设直线的斜率为k，那么直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－，令－3＜1－＜3，解不等式可得k>或k<－1.也可以利用数形结合．
9．假设直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，那么直线l倾斜角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 由直线l恒过定点(0，－)，作出两直线的图象，如下图，从图中看出，直线l的倾斜角的取值范围应为.
10．(2022·海南模拟)直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A． B．
C．∪ D．∪
答案 C
解析 直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.由倾斜角和斜率的关系(如下图)，该直线倾斜角的取值范围为∪.
11．A(2,5)，B(4,1)．假设点P(x，y)在线段AB上，那么2x－y的最大值为( )
A．－1 B．3
C．7 D．8
答案 C
解析 依题意得kAB＝＝－2，所以线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2,4]，即y＝－2x＋9，x∈[2,4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2,4]．设h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2,4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝7.
12．设点A(－2,3)，B(3,2)，假设直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，那么a的取值范围是( )
A．∪
B．
C．
D．∪
答案 B
解析 易知直线ax＋y＋2＝0过定点P(0，－2)，kPA＝－，kPB＝，因为直线ax＋y＋2＝0的斜率为－a，假设直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，根据图象(图略)可知－＜－a＜，解得－＜a＜，应选B．
13．(2022·宁夏调研)假设ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，那么ab的最小值为________．
答案 16
解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又因为C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又因为ab>0，故a<0，b<0.
根据根本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≤0(舍去)或≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.
14．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．
答案 5x＋3y＝0或x－y＋8＝0
解析 ①当直线过原点时，直线方程为y＝－x，即5x＋3y＝0；
②当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a，代入点(－3,5)，得a＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.
综上，直线方程为5x＋3y＝0或x－y＋8＝0.
15．在△ABC中，A(1,1)，AC边上的高线所在的直线方程为x－2y＝0，AB边上的高线所在的直线方程为3x＋2y－3＝0.那么BC边所在的直线方程为________．
答案 2x＋5y＋9＝0
解析 由题意，得kAC＝－2，kAB＝.
∴lAC：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，
lAB：y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0.
由得C(3，－3)．
由得B(－2，－1)．
∴lBC：2x＋5y＋9＝0.
16．实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，的取值范围为________.
答案 ∪
解析 的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率，因为点M在x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB，且A，B，由于kNA＝－，kNB＝，所以的取值范围是∪.
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