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课时作业11 函数与方程
一、选择题
1．函数f(x)＝的所有零点的和等于( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：令x－2＝0，解得x＝－1，令x－1＝0，解得x＝1，所以函数f(x)存在两个零点1和－1，其和为0.
答案：C
2．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝logx B．y＝2x－1
C．y＝x2－ D．y＝－x3
解析：函数y＝logx在定义域上是减函数，y＝x2－在(－1,1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1,1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.
答案：B
3．函数f(x)＝x－的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
解析：方法一：令f(x)＝x－＝0，∴x＝，∴x2＝4，∴x＝±2，有2个零点．
方法二：令f(x)＝x－＝0，∴x＝，
令y1＝x，y2＝
结合图象有2个零点．
答案：C
4．(2018·豫南十校联考)函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：因为f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，则f(0)·f(1)＝－2<0，且函数f(x)＝x3＋2x－1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点．
答案：A
5．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．
在同一直角坐标系画出函数y1＝|x－2|(x>0)，
y2＝ln x(x>0)的图象，
如图所示：
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
答案：C
6．根据下面表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(1,2) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(2,3)
解析：本题考查二分法的应用．令f(x)＝ex－x－2，则由表中数据可得f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，所以函数f(x)的一个零点在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上．
答案：A
7．(2018·广东揭阳一模)曲线y＝x与y＝x的交点横坐标所在区间为( )
A. B.
C. D.
解析：设f(x)＝x－x，∵f＝－>0，f＝－<0，
∴f·f<0，根据函数零点存在性定理可得函数零点所在区间为，即交点横坐标所在区间为，故选B.
答案：B
8．(2018·云南省第一次统一检测)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
解析：
f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d，所以可以在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D.
答案：D
9．(2018·河南新乡三模)若函数f(x)＝log2(x＋a)与g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)存在相同的零点，则a的值为( )
A．4或－ B．4或－2
C．5或－2 D．6或－
解析：g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝(x＋4)[x－(a＋5)]，令g(x)＝0，得x＝－4或x＝a＋5，则f(－4)＝log2(－4＋a)＝0或f(a＋5)＝log2(2a＋5)＝0，解得a＝5或a＝－2.
答案：C
10．(2018·四川绵阳模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析：由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，所以即解得0<a<3.
答案：C
二、填空题
11．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
解析：因为f(0)<0，f(0.5)>0，由二分法原理得一个零点x0∈(0,0.5)；第二次应计算f＝f(0.25)．
答案：(0,0.5) f(0.25)
12．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的范围为________．
解析：由题意f(1)·f(0)<0.∴a(2＋a)<0.
∴－2<a<0.
答案：(－2,0)
13．(2018·陕西省宝鸡市高三质检)设函数f(x)＝，若函数y＝f(x)－k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是________．
解析：∵当x<1时，2－x>，当x≥1时，log2x≥0，依题意函数y＝f(x)的图象和直线y＝k的交点有两个，∴k>.
答案：
14．(2018·南京二模)若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8＝0有唯一零点，则满足条件的实数m所组成的集合为________．
解析：本题考查函数的性质、导数在研究函数中的应用．因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数，所以函数f(x)的唯一零点只能是0，即f(0)＝m2＋2m－8＝0，解得m＝2或m＝－4.当m＝2时，f(x)＝x2－2cosx＋2，易证f′(x)＝2x＋2sinx>0，x∈(0，＋∞)，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．此时f(x)有唯一零点；当m＝－4时，f(x)＝x2＋4cosx－4，f＝2－2<0，f(π)＝π2－8>0，所以f(x)在上有零点不符合，舍去，故实数m的取值集合为{2}．
灵活应用偶函数图象的对称性是解答本题的关键．
答案：{2}
[能力挑战]
15．(2018·四川成都市高中毕业班第一次诊断预测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cosπx|在上的所有实数解之和为( )
A．－7 B．－6
C．－3 D．－1
解析：因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2，又当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|cosπx|的图象，如图所示．由图知关于x的方程f(x)＝|cosπx|在上的实数解有7个．不妨设x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，则由图，得x1＋x2＝－4，x3＋x5＝－2，x4＝－1，x6＋x7＝0，所以方程f(x)＝|cosπx|在上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A.
答案：A
16．(2018·南昌模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x∈[1,2]时，f(x)＝ln x－x＋1，若函数g(x)＝f(x)＋mx有7个零点，则实数m的取值范围为( )
A.∪
B.
C.
D.
解析：本题考查函数与方程、导数的应用．由f(2－x)＝f(x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)是偶函数，所以f(x)是以2为周期的周期函数．当x∈[1,2]时，f(x)＝ln x－x＋1，则f′(x)＝－1＝≤0，f(x)在[1,2]上单调递减，作出f(x)在(0，＋∞)上的部分图象如图所示．函数g(x)＝f(x)＋mx有7个零点，等价于f(x)的图象与直线y＝－mx有7个交点，由图易得<－m<，同理，在(－∞，0)上有<－m<，所以<m<或<m<，故选A.
答案：A
17．(2018·天津十二县区联考)已知函数f(x)＝其中m<－1，对于任意x1∈R且x1≠0，均存在唯一实数x2，使得f(x2)＝f(x1)，且x1≠x2，若|f(x)|＝f(m)有4个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A．(0,1)
B．(－1,0)
C．(－2，－1)∪(－1,0)
D．(－2，－1)
解析：本题考查函数的性质、函数与方程．当a＝0时，显然不符合题意；当a≠0时，函数y＝ex＋m－1(x≥0)和函数y＝ax＋b(x<0)都是定义域内的单调函数，且函数y＝ex＋m－1(x≥0)的值域为[m，＋∞)，则由题意得函数y＝ax＋b(x<0)的值域为(m，＋∞)，所以则函数f(x)＝即f(x)＝的值域为[m，＋∞)，|f(x)|的大致图象如图所示，由函数图象易得要使方程|f(x)|＝f(m)有4个不相等的实数根，则即又因为m<－1，解得－2<a<－1，故选D.
根据题意确定函数的值域和函数的大致图象是解题的关键．
答案：D
6
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