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第3讲 分段函数
1．(2014年江西)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
2．已知函数f(x)的定义域为R，∀x∈R，f(x－90)＝则f(10)－f(－100)的值为( )
A．－8 B．－16 C．55 D．101
3．函数y＝的图象大致是( )
A B C D
4．(2015年山东)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )
A．1 B. C. D.
5．(2016年河北五校联盟质量)已知函数f(x)＝则不等式f(x)>2的解集为( )
A．(－2,4) B．(－4，－2)∪(－1,2)
C．(1,2)∪(，＋∞) D．(，＋∞)
6．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(0,3] C．(0,2) D．(0,2]
7．(2014年浙江)设函数f(x)＝若f[f(a)]＝2，则a＝________.
8．(2017年广东调研)已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)．若f(2)＋f(－2)＝，则a＝________.
9．(2015年浙江)已知函数f(x)＝则f[f(－2)]＝__________，f(x)的最小值是________．
10．(2017年云南昆明三中统测)设函数f(x)＝若f(a)＝1，则实数a的值为( )
A．－1或0 B．2或－1
C．0或2 D．2
11．已知函数f(x)＝的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12．已知函数f(x)＝是奇函数，
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
第3讲 分段函数
1．A 解析：f[f(－1)]＝f(2)＝a×22＝4a＝1，a＝.
2．A 解析：令x－90＝t，得x＝90＋t，则f(t)＝所以f(10)＝lg 100＝2，f(－100)＝－(－100＋90)＝10.所以f(10)－f(－100)＝－8.
3．D 解析：因为y＝为奇函数，图象关于原点对称，所以排除选项A，B；当x＝±1时，y＝0，所以排除选项C.故选D.
4．D 解析：由题意，得f＝3×－b＝－b.由f＝4，得或解得b＝.故选D.
5．C 解析：令2ex－1>2(x<2)，解得1<x<2；令log3(x2－1)>2(x≥2)，解得x>.故选C.
6．D 解析：由题意，得解得0＜a≤2.
7. 解析：若a≤0，则f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，所以－[a2＋2a＋2]2＝2，无解；若a>0，则f(a)＝－a2<0.所以(－a2)2＋2(－a2)＋2＝2.解得a＝.
8．2或 解析：由f(2)＋f(－2)＝，得a2＋＋1＝，结合a>0，且a≠1，解得a＝2或a＝.
9．－ 2 －6 解析：因为f(－2)＝(－2)2＝4，所以f[f(－2)]＝f(4)＝4＋－6＝－.当x≤1时，f(x)≥0；当x>1时，f(x)≥2 －6，当x＝，即x＝时取到等号．因为2 －6<0，所以函数的最小值为2 －6.
10．B 解析：函数f(x)＝若f(a)＝1，当a＜1时，－a＝1，a＝－1，成立．当a≥1时，(a－1)2＝1，解得a＝2，综上所述，a的值为2或－1.故选B.
11．A 解析：原函数在y轴左侧是一段正弦型函数图象，在y轴右侧是一条对数型函数图象，要使得图象上关于y轴对称的点至少有3对，可将左侧的图象对称到y轴右侧，即y＝sin－1(x>0)与原来y轴右侧的图象至少有3个公共点，如图D91，a>1不能满足条件，只有0<a<1.
图D91
此时，只需在x＝5时，y＝logax的纵坐标大于－2，即loga5>－2，得0<a<.
12．解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3.
故实数a的取值范围是(1,3]．
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