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第3讲 函数的奇偶性与周期性
课时作业
1．R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝x2＋x－1，那么f[f(－1)]＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
答案 A
解析 f[f(－1)]＝f[－f(1)]＝f(－1)＝－f(1)＝－1，应选A．
2．以下函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝x
答案 B
解析 对于A，y＝x3是奇函数；对于B，y＝|x|＋1为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增；对于C，y＝－x2＋1为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递减；对于D，y＝x是减函数．应选B．
3．(2022·成都第一次诊断)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，那么f＝( )
A．－ B．
C．－ D．
答案 B
解析 由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f＝f＝－f＝3＝.
4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝那么g[f(－8)]＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案 B
解析 ∵f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2，
∴g[f(－8)]＝g(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.
5．奇函数f(x)的定义域为R，假设f(x＋2)为偶函数，那么f(8)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
答案 B
解析 由奇函数f(x)的定义域为R，可得f(0)＝0，
由f(x＋2)为偶函数，可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，
故f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f[－(x＋2)＋2]
＝f(－x)＝－f(x)，那么f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]
＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以f(8)＝f(0)＝0，选B．
6．(2022·济南模拟)给出以下四个函数：
①f(x)＝2x－2－x；②f(x)＝xsinx；③f(x)＝log3；④f(x)＝|x＋3|－|x－3|.
其中是奇函数的编号为( )
A．①③ B．①③④
C．①②③ D．①②③④
答案 B
解析 对于①，f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以是奇函数；对于②，f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x)，所以是偶函数；对于③，f(－x)＝log3＝－log3＝－f(x)，所以是奇函数；对于④，f(－x)＝|－x＋3|－|－x－3|＝|x－3|－|x＋3|＝－(|x＋3|－|x－3|)＝－f(x)，所以是奇函数．应选B．
7．(2022·商丘模拟)函数f(x)＝ln (e＋x)－ln (e－x)，那么f(x)是( )
A．奇函数，且在(0，e)上是增函数
B．奇函数，且在(0，e)上是减函数
C．偶函数，且在(0，e)上是增函数
D．偶函数，且在(0，e)上是减函数
答案 A
解析 ∵f(x)的定义域为－e<x<e，又f(－x)＋f(x)＝0，∴f(x)为奇函数，由f(x)＝ln ＝ln ＝ln ＝ln ，知f(x)在(0，e)上为增函数．应选A．
8．(2022·大连双基测试)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函数，那么有( )
A．f<f<f B．f<f<f
C．f<f<f D．f<f<f
答案 B
解析 由题设知f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又函数f(x)是奇函数，所以其图象关于坐标原点对称，
由于函数f(x)在[0,1]上是增函数，
故f(x)在[－1,0]上也是增函数，
综上函数f(x)在[－1,1]上是增函数，在[1,3]上是减函数．
又f＝f＝f，
所以f<f<f＝f.
9．假设定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，那么g(x)＝( )
A．ex－e－x B．(ex＋e－x)
C．(e－x－ex) D．(ex－e－x)
答案 D
解析 由f(x)＋g(x)＝ex ①，可得f(－x)＋g(－x)＝e－x.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)－g(x)＝e－x ②，那么两式相减，可得g(x)＝.选D．
10．函数f(x)＝的图象关于原点对称，g(x)＝ln (ex＋1)－bx是偶函数，那么logab＝( )
A．1 B．－1
C．－ D．
答案 B
解析 由题意，得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，
∴ln (e＋1)－b＝ln ＋b，∴b＝，
∴logab＝log2＝－1.应选B．
11．(2022·沈阳模拟)函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f.那么f(6)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
答案 D
解析 当x>时，由f＝f，可得f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，应选D．
12．函数f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1,1)，那么满足f(a2－1)＋f(a－1)>0的a的取值范围是( )
A．(0,2) B．(1，)
C．(1,2) D．(0，)
答案 B
解析 易知f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1,1)是奇函数，
又f′(x)＝3x2＋cosx>0，
∴y＝f(x)在区间(－1,1)上是增函数，
由f(a2－1)＋f(a－1)>0，得f(a2－1)>f(1－a)，
∴解得1<a<.
13．设函数f(x)＝为奇函数，那么a＝________.
答案 －1
解析 ∵f(x)＝为奇函数，
∴f(1)＋f(－1)＝0，
即＋＝0，
∴a＝－1.
14．(2022·海口模拟)设函数f(x)＝，那么使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是________.
答案 (－∞，1)
解析 因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，且x>0时，f(x)＝＝1－，故f(x)单调递增，又f(0)＝0，从而f(x)是R上的增函数，故f(x)>f(2x－1)⇔x>2x－1，得x<1.
15．(2022·莆田一中月考)函数y＝f(x－1)＋x2是定义在R上的奇函数，且f(0)＝－1，假设g(x)＝1－f(x＋1)，那么g(－3)＝________.
答案 2
解析 设y＝F(x)＝f(x－1)＋x2，
因为y＝f(x－1)＋x2是定义在R上的奇函数，
所以F(0)＝f(－1)＋0＝0，
所以f(－1)＝0.
F(1)＝f(0)＋1＝－1＋1＝0，
又F(－1)＝f(－2)＋1＝－F(1)＝0，
所以f(－2)＝－1，
因为g(x)＝1－f(x＋1)，
所以当x＝－3时，g(－3)＝1－f(－3＋1)
＝1－f(－2)＝1－(－1)＝2.
16．函数f(x)满足f(x＋1)＝，当f(1)＝2时，f(2022)＋f(2022)的值为________.
答案 －
解析 由f(x＋1)＝，f(1)＝2，得f(2)＝－3，f(3)＝－，f(4)＝，f(5)＝2，f(6)＝－3，f(7)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(2022)＋f(2022)＝f(3)＋f(4)＝－.
17．函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)假设函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，那么－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如下图)知
所以1<a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
18．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
解 (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵x∈[2,4]，
∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．
19．(2022·吉林模拟)函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断并证明函数f(x)在(－1,0)上的单调性．
解 (1)由题意得解得
所以f(x)＝.
(2)函数f(x)在(－1,0)上单调递增．
证明如下：
任取x1，x2∈(－1,0)，且x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝－＝＝<0，即f(x1)<f(x2)，
所以函数f(x)在(－1,0)上单调递增．
20．(2022·海淀联考)函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断并证明f(x)在其定义域上的单调性；
(3)假设f(k·3x)＋f(3x－9x＋2)<0对任意x≥1恒成立，求实数k的取值范围．
解 (1)∵f(x)的定义域R关于原点对称，且
f(－x)＝＝＝＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)在R上单调递增．
证明如下：
设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1<x2，
f(x2)－f(x1)＝－＝，
∵函数y＝2x在R上为增函数，
∴2x2>2x1，故2x2－2x1>0，∴f(x2)>f(x1)．
∴函数f(x)在R上单调递增．
(3)∵f(k·3x)＋f(3x－9x＋2)<0，
∴f(k·3x)<－f(3x－9x＋2)，
又f(x)为奇函数，
∴f(k·3x)<f(－3x＋9x－2)．
∵f(x)在R上是增函数，
∴k·3x<－3x＋9x－2对任意x≥1恒成立，
∴k<3x－－1对任意x≥1恒成立．
设t＝3x，那么t≥3，
∵y＝t－－1在[3，＋∞)上为增函数，
∴当t＝3时，函数y＝t－－1取得最小值，
且ymin＝3－－1＝.
∴k<，∴实数k的取值范围为.
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