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第8讲 函数与方程
课时作业
1．(2022·郑州质检)函数f(x)＝ln x－的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝与y＝ln x的图象(图略)，由图象可知有两个交点．
2．(2022·金华模拟)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(1，e)和(3,4) D．(e，＋∞)
答案 B
解析 因为f′(x)＝＋>0(x>0)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝ln 3－>0，f(2)＝ln 2－1<0，所以f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)唯一的零点在区间(2,3)内．应选B．
3．函数f(x)＝那么函数f(x)的零点为( )
A．，0 B．－2,0
C． D．0
答案 D
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．
综上，函数f(x)的零点只有0.
4．函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在的区间是( )
A． B．
C．(1,2) D．(2,3)
答案 C
解析 因为y＝与y＝log2x的图象只有一个交点，所以f(x)只有一个零点．又因为f(1)＝1，f(2)＝－1，所以函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在的区间是(1,2)．应选C．
5．函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析 f(x)＝xcos2x＝0⇒x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在[0,2π]上的根有，，，，共4个，故原函数有5个零点．
6．假设x0是方程x＝x的解，那么x0属于区间( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 令g(x)＝x，f(x)＝x，那么g(0)＝1>f(0)＝0，g＝<f＝，g＝>f＝，
所以由图象关系可得<x0<.
7．(2022·银川模拟)f(x)＝3x－log2(－x)的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 f(x)的定义域为(－∞，0)，且f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(－1)＝>0，f(－2)＝－<0，所以函数f(x)＝3x－log2(－x)有且仅有1个零点，应选B．
8．a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.假设f(x)＝2022－(x－a)(x－b)的零点为c，d，那么以下不等式正确的选项是( )
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
答案 D
解析 f(x)＝2022－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2022，又f(a)＝f(b)＝2022，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如下图，由图可知c>a>b>d，应选D．
9．(2022·吉林长春模拟)x0是f(x)＝x＋的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，那么( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)>0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)<0，f(x2)>0
答案 C
解析 如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x，y＝－的图象，由图象可知，当x∈(－∞，x0)时，x>－，当x∈(x0,0)时，x<－，所以当x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)时，有f(x1)>0，f(x2)<0，应选C．
10．(2022·郑州质检)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，那么函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 作出函数f(x)与g(x)的图象如下图，发现有两个不同的交点，应选B．
11．(2022·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.假设g(x)存在2个零点，那么a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 C
解析 画出函数f(x)的图象，再画出直线y＝－x并上下移动，可以发现当直线y＝－x过点A时，直线y＝－x与函数f(x)的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线y＝－x与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝－x－a有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足－a≤1，即a≥－1，应选C．
12．(2022·河北正定模拟)f(x)为偶函数且f(x＋2)＝f(x)，假设当x∈[0,1]时，f(x)＝x，那么方程f(x)＝log3|x|的解的个数是( )
A．0 B．2
C．4 D．6
答案C
解析 画出函数f(x)和y＝log3|x|的图象(如下图)，由图象可知方程f(x)＝log3|x|的解有4个．应选C．
13．函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
35
－74
14.5
－56.7
－123.6
那么函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个．
答案 3
解析 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1,6]上至少有3个零点．
14．f(x)＝那么其零点为________.
答案 1，－1
解析 当x>0时，由f(x)＝0，即xln x＝0得ln x＝0，解得x＝1；当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－x－2＝0，也就是(x＋1)(x－2)＝0，解得x＝－1或x＝2.因为x≤0，所以x＝－1.综上，函数的零点为1，－1.
15．(2022·泉州模拟)函数f(x)＝
假设函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，那么实数m的取值范围是________.
答案 (0,1)
解析 函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，转化为f(x)－m＝0的根有3个，进而转化为y＝f(x)和y＝m的图象有3个交点．画出函数y＝f(x)的图象，由图可知要使函数y＝f(x)和y＝m的图象有3个交点，m应满足0<m<1，所以实数m的取值范围是(0,1)．
16．函数f(x)＝其中m>0.假设存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的实根，那么m的取值范围是________.
答案 (3，＋∞)
解析 f(x)的图象如下图，假设存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的实根，只需4m－m2<m，解得m>3或m<0，又m>0，所以m>3.
17．(2022·柳州模拟)函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)＝对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)．假设在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围．
解 因为对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)，所以函数f(x)的周期为4.由在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m有三个不同的零点，知函数f(x)与函数h(x)＝mx－m的图象在[－5,3]上有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间[－5,3]上的图象，如下图．
由图可知≤m<，即－≤m<－.
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