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第7讲 函数的图象
课时作业
1．函数f(x)＝ln (x2＋1)的图象大致是( )
答案 A
解析 依题意，得f(－x)＝ln (x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除C．因为函数f(x)过定点(0,0)，排除B，D，应选A．
2．(2022·昆明模拟)函数y＝x2－2|x|的图象是( )
答案 B
解析 由y＝x2－2|x|知其是偶函数，故图象关于y轴对称，排除C．当x≥0时，y＝x2－2x＝(x－1)2－1.当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝－1，排除A，D，应选B．
3．设a<b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是( )
答案 C
解析 由解析式可知，当x>b时，y>0，由此可以排除A，B．又当x≤b时，y≤0，从而可以排除D．应选C．
4．函数y＝f(x)的大致图象如下图，那么函数y＝f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝exln x B．f(x)＝e－xln |x|
C．f(x)＝exln |x| D．f(x)＝e|x|ln |x|
答案 C
解析 如题图所示，函数定义域中有负数，排除A；函数不是偶函数，排除D；当x→＋∞时，f(x)增长速度越来越快，与B不符合，故排除B；当x→－∞时，由f(x)增长速度放缓，也可以排除B，D．应选C．
5．(2022·河南郑州第三次质量检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f(x)＝的图象大致是( )
答案 D
解析 因为函数f(x)＝，f(－x)＝＝≠f(x)，所以函数f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故排除A，B；又f(3)＝，f(4)＝，所以f(3)>f(4)，而C在x>0时是递增的，故排除C．应选D．
6．函数y＝f(1－x)的图象如下图，那么y＝f(1＋x)的图象为( )
答案 B
解析 因为y＝f(1－x)的图象过点(1，a)，故f(0)＝a.所以y＝f(1＋x)的图象过点(－1，a)，应选B．
7．函数f(x)的图象如下图，那么f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
答案 A
解析 由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C；假设函数的解析式为f(x)＝x－，那么当x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D．应选A．
8．假设函数f(x)＝的图象如下图，那么f(－3)等于( )
A．－ B．－
C．－1 D．－2
答案 C
解析 由图象可得a×(－1)＋b＝3，ln (－1＋a)＝0，解得a＝2，b＝5，所以f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，应选C．
9．假设函数y＝f(x)的图象如下图，那么函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
答案 C
解析 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
10．(2022·青岛模拟)函数f(x)＝
那么对任意x1，x2∈R，假设0<|x1|<|x2|，以下不等式成立的是( )
A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
答案 D
解析 函数f(x)的图象如下图，且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．
又0<|x1|<|x2|，所以f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.
11．函数f(x)＝的图象如下图，那么以下结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0
答案 C
解析 由f(x)＝及图象可知，x≠－c，－c>0，那么c<0；当x＝0时，f(0)＝>0，所以b>0；当f(x)＝0时，ax＋b＝0，所以x＝－>0，所以a<0.故a<0，b>0，c<0.应选C．
12．(2022·合肥九中模拟)现有四个函数：①y＝x·sinx，②y＝x·cosx，③y＝x·|cosx|，④y＝x·2x的局部图象如图，但顺序被打乱，那么按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )
A．①④②③ B．①④③②
C．④①②③ D．③④②①
答案 A
解析 函数①y＝x·sinx为偶函数，图象关于y轴对称，对应的是第一个函数图象，从而排除选项C，D；对于函数④y＝x·2x，因为y′＝2x(1＋xln 2)，当x>0时，y′>0，函数单调递增，所以函数④y＝x·2x对应的是第二个函数图象；又当x>0时，函数③y＝x·|cosx|≥0，对应的是第四个函数图象，从而排除选项B，选A．
13．不等式log2(－x)<x＋1的解集为________.
答案 (－1,0)
解析 设f(x)＝log2(－x)，g(x)＝x＋1.
函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的图象如图．
由图象可知不等式
log2(－x)<x＋1的解集为{x|－1<x<0}．
14．假设函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，那么f(x)的解析式为________.
答案 f(x)＝e－x－1
解析 与y＝ex的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移1个单位长度，得y＝e－x的图象，∴f(x)的图象是由y＝e－x的图象向左平移1个单位长度得到的，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
15．函数f(x)的局部图象如下图，假设不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1,2)，那么实数t的值为________.
答案 1
解析 由图象可知x＋t的范围是(0,3)，即不等式的解集为(－t,3－t)，依题意可得t＝1.
16．(2022·惠州模拟)f(x)＝那么函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________.
答案 5
解析 由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象．
由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．
因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个．故填5.
17．画出以下函数的图象．
(1)y＝eln x；(2)y＝.
解 (1)因为函数的定义域为{x|x>0}且y＝eln x＝x，所以其图象如下图．
(2)y＝＝1＋，先作出y＝的图象，
将其图象向右平移1个单位，
再向上平移1个单位，
即得y＝的图象，如图．
18．函数f(x)＝
(1)在如下图的平面直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)由图象指出当x取什么值时f(x)取最值．
解 (1)函数f(x)的图象如下图．
(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，(2,5]．
(3)由图象知当x＝2时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)＝3，当x＝5时，f(x)＝2.
所以f(x)max＝f(0)＝3.
19．设函数f(x)＝|1－|(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；
(3)假设方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解 (1)函数f(x)的图象如下图．
(2)∵f(x)＝|1－|＝
故f(x)在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
由0<a<b且f(a)＝f(b)得0<a<1<b，
且－1＝1－，∴＋＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．
20．函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)假设不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．
解 (1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如下图．
由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．
(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即m的取值范围为(－∞，0]．
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