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第10讲 函数的图象
1．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图X2101，则下列结论成立的是( )
图X2101
A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1
2．(2016年浙江)函数y＝sin x2的图象是( )
A B
C D
3．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图X2102，则下列函数图象正确的是( )
图X2102
A B C D
4．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)与y＝log5x图象交点的个数为( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，当x≤－时，f(x)＝sin x，若关于x的方程f(x)＝a有解，记所有解的和为S，则S不可能为( )
A．－π B．－π C．－π D．－
6．函数f(x)＝的零点个数是________．
7．(2017年广东惠州三模)已知函数f(x)＝|xex|－m(m∈R)有三个零点，则m的取值范围为________．
8．(2017年广东湛江二模)函数f(x)＝|x|－(a∈R)的图象不可能是( )
A B C D
9．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
10．已知函数f(x)＝x3＋mx2，其中m为实数．
(1)若函数f(x)的图象在x＝－1处的切线斜率为，求m的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若f(x)在x＝－2处取得极值，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求a的取值范围．
第10讲 函数的图象
1．D 解析：由图可知y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位长度而得到的，其中0＜c＜1，再根据单调性易知，0＜a＜1.故选D.
2．D 解析：因为y＝sin x2为偶函数，所以它的图象关于y轴对称，排除A，C选项；当x2＝，即x＝±时，ymax＝1，排除B选项．故选D.
3．B 解析：由函数logax(a>0，且a≠1)的图象知，a＝3，∴y＝3－x，y＝(－x)3＝－x3及y＝log3(－x)均为减函数，只有y＝x3是增函数．故选B.
4．C 解析：由f(x＋1)＝f(x－1)知，函数y＝f(x)的周期为2.当x＝5时，f(x)＝1，log5x＝1；当x＞5时，log5x＞1，y＝f(x)与y＝log5x的图象不再有交点．函数图象如图D93.故选C.
图D93
5．A 解析：作函数y＝f(x)的草图，对称轴为直线x＝－，当直线y＝a与函数有两个交点(即有两个根)时，x1＋x2＝2×＝－；当直线y＝a与函数有三个交点(即有三个根)时，x1＋x2＋x3＝2×－＝－；当直线y＝a与函数有四个交点(即有四个根)时，x1＋x2＋x3＋x4＝4×＝－π.故选A.
6．2 解析：令x2－2＝0，得x＝±.因为x≤0，所以x＝－；令2x－6＋ln x＝0，得6－2x＝ln x，在同一平面直角坐标系内，画出y＝6－2x，y＝ln x的图象(如图D94)，观察知交点有1个，所以原题零点的个数为2.
图D94
7. 解析：问题转化为求y＝|xex|与y＝m的图象有三个交点时，求m的取值范围．y＝|xex|的图象如图D95.
∴m∈.
图D95
8．C 解析：当a＝0时，图象为A；当a>0时，f(x)＝|x|－＝x>0时显然单调递增， x<0时为对勾函数，图象为D；当a<0时，f(x)＝|x|－＝x<0时显然单调递减， x>0时为对勾函数，图象为B.故选C.
9．解：f(x)＝
作出图象如图D96.
图D96
(1)递增区间为[1,2)，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，[2,3)．
(2)原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，设y＝x＋a，在同一平面直角坐标系下再作出y＝x＋a的图象(如图D96)．
则当直线y＝x＋a过点(1,0)时，a＝－1；
当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，
由得x2－3x＋a＋3＝0.
由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－.
由图象知当a∈时，方程至少有三个不等实根．
10．解：(1)f′(x)＝x2＋2mx，f′(－1)＝1－2m，
由1－2m＝，解得m＝.
(2)f′(x)＝x2＋2mx＝x(x＋2m)．
①当m＝0时，f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增；
②当m>0时，x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：
x
(－∞，－2m)
－2m
(－2m,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2m)和(0，＋∞)，单调递减区间是(－2m,0)．
③当m<0时，x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，－2m)
－2m
(－2m，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(－2m，＋∞)，单调递减区间是(0，－2m)．
综上所述，当m＝0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)；
当m>0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，－2m)和(0，＋∞)，单调递减区间是(－2m,0)；
当m<0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(－2m，＋∞)，单调递减区间是(0，－2m)．
图D97
(3)由题意f′(－2)＝0，解得m＝1.
所以f(x)＝x3＋x2.
由(2)知f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)极大＝f(－2)＝，f(x)极小＝f(0)＝0.
如图D97，要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
只需0<a<.
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