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2022版高考数学一轮复习 第1章 预备知识 第5节 一元二次不等式及其解法学案新人教B版

2022版高考数学一轮复习 第1章 预备知识 第5节 一元二次不等式及其解法学案新人教B版

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第5节　一元二次不等式及其解法

一、教材概念·结论·性质重现

1．一元二次不等式
一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．
2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＞x2
或x＜x1}

R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜
x＜x2}
∅
∅
3．(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
a<b
a＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|x<a或x>b}
{x|x≠a}
{x|x<b或x>a}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a<x<b}
∅
{x|b<x<a}

(1)解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记a＝0时的情形．
(2)不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图像决定．
①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)不等式≤0的解集为[－1,2]．(　×　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　√　)
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　)
2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝(　　)
A．[－2，－1] B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
A　解析：A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]．故选A.
3．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．[0,3] B．(0,3)
C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
A　解析：要使函数f(x)＝有意义，
则3x－x2≥0，
即x2－3x≤0，
解得0≤x≤3.
4．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
　解析：由题意可知mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立，即解得m≥.
5．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝________.
－14　解析：由题意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
则
解得(经检验知满足题意)．
所以a＋b＝－14.

考点1　一元二次不等式的解法——综合性

考向1　不含参数的一元二次不等式的解法
(1)函数y＝的定义域是________．
[－1,7]　解析：要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7.故所求函数的定义域为[－1,7]．
(2)解不等式：0<x2－x－2≤4.
解：原不等式等价于
⇔⇔
⇔
借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}．

解一元二次不等式的一般方法和步骤

考向2　含参数的一元二次不等式的解法
解不等式x2－(a＋1)x＋a<0.
解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0.
当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为∅；
当a<1时，原不等式的解集为(a,1)．

将本例中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集．
解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
因为a>0，所以a(x－1)<0.
所以，当a>1时，解得<x<1；
当a＝1时，解集为∅；
当0<a<1时，解得1<x<.
综上，当0<a<1时，不等式的解集为；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为.

解含参数一元二次不等式的分类讨论依据

　提醒：含参数讨论问题最后要综上所述．

1．(2019·天津卷)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________．
　解析：3x2＋x－2<0变形为(x＋1)·(3x－2)<0，解得－1<x<，故使不等式成立的x的取值范围为.
2．(2021·江淮十校联考)已知函数f(x)＝则不等式x2·f(x)＋x－2≤0的解集是________．
{x|－1≤x≤1}　解析：原不等式等价于或
即或
所以－1≤x<或≤x≤1，即解集为{x|－1≤x≤1}．
3．已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.
解：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，
不等式的解集为
；
②当a＝0时，x2>0，
不等式的解集为{x|x≠0}；
③当a<0时，－>，
不等式的解集为.
综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
考点2　一元二次方程与一元二次不等式——基础性

1．(2021·济南模拟)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为(　　)
A．
B．
C．{x|－3<x<2}
D．{x|x<－3或x>2}
C　解析：由题意知a>0，且，－是方程ax2－5x＋b＝0的两根，所以解得所以不等式bx2－5x＋a＝－5x2－5x＋30>0，即x2＋x－6<0，解得－3<x<2.故选C.
2．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　)
A．{x|2<x<3}
B．{x|x≤2或x≥3}
C．
D．
B　解析：因为不等式ax2－bx－1>0的解集是，
所以ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，
所以
解得
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.所以不等式x2－bx－a≥0的解集是{x|x≤2或x≥3}．
3．若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(1, 3)
C．(－1,3)
D．(－∞， 1)∪(3，＋∞)
C　解析：由关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，可知a＝b<0，所以不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3.所以不等式的解集是(－1, 3)

1. 一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以借助根与系数的关系求待定系数．
考点3　一元二次不等式的恒成立问题——应用性

考向1　在实数集R上的恒成立问题
若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]
B．[－2,2]
C．(－2,2]
D．(－∞，－2)
C　解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2<a<2.
综上，实数a的取值范围是(－2,2]．

一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
考向2　在给定区间上的恒成立问题
若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
A　解析：(方法一)令f(x)＝x2－2x＋a.则由题意，得
解得a≤－3.故选A.
(方法二)当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立．令f(x)＝－x2＋2x(x∈[－1,2])．而f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x＝－1时，f(x)min＝－3，所以a≤－3.故选A.

给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图像转化为等价不等式(组)求范围．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.

函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立．
则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2.
所以实数a的取值范围是[－6,2]．
(2)对于任意x∈[－2,2]，f(x)≥a恒成立，
即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2,2]恒成立．
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②
或③
解①得－6≤a≤2，
解②得a∈∅，
解③得－7≤a<－6.
综上可知，实数a的取值范围为[－7,2]．