2021年高考数学高分秘籍-不等式、推理与证明.docx

2021年高考数学高分秘籍 不等式、推理与证明

2021年高考数学高分秘籍 不等式、推理与证明

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不等式、推理与证明
1．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（　　）
A．ca＞cb B．ac＜bc
C．aa-c＞bb-c D．logac＞logbc
【答案】D
【解答】：根据题意，依次分析选项：
对于A、构造函数y=cx，由于0＜c＜1，则函数y=cx是减函数，又由a＞b＞1，则有ca＞cb，故A错误；
对于B、构造函数y=xc，由于0＜c＜1，则函数y=xc是增函数，又由a＞b＞1，则有ac＞bc，故B错误；
对于C、aa-c﹣bb-c=ab-ac-ab+bc(a-c)(b-c)=c(b-a)(a-c)(b-c)，又由0＜c＜1，a＞b＞1，则（a﹣c）＞0、（b﹣c）＞0、（b﹣a）＜0，进而有aa-c﹣bb-c＜0，故有aa-c＜bb-c，故C错误；
对于D、logac﹣logbc=lgclga﹣lgclgb=lgc（lgb-lgalga⋅lgb），又由0＜c＜1，a＞b＞1，则有lgc＜0，lga＞lgb＞0，则有logac﹣logbc=lgclga﹣lgclgb=lgc（lgb-lgalga⋅lgb）＞0，即有logac＞logbc，故D正确；
故选：D．
2．若实数a、b、c同时满足：①a2＞b2；②1+ac＜a+c；③logba＞c．则a、b、c的大小关系是（　　）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．a＞b＞c
【答案】D
【解答】：实数a、b、c同时满足：①a2＞b2；②1+ac＜a+c；③logba＞c．
由③可得：a，b＞0，b≠1，又由①可得a＞b＞0．
由②可得：（a﹣1）（c﹣1）＜0，则&a＞1&c＜1或&a＜1&c＞1．
由&a＞1&c＜1，及其③可得，若a＞b＞1，则logba＞1，
由c＜1，可得a＞b＞c；
若0＜b＜1，则logba＜0，c＜0，可得a＞b＞c；
由&a＜1&c＞1，及其③可得logba＞1，可得a＜b＜1，与a＞b矛盾，
综上可得a＞b＞c，
故选：D．

两个实数比较大小的方法
（1）作差法，其步骤为：
作差⇒变形⇒定号（确定正负号，即判断差与0的大小）⇒得出结论．
含根号的式子作差时一般先乘方再作差．
（2）作商法，其步骤为：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
（3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
（4）赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．

3．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（　　）
A．ac2＜bc2 B．1a＜1b
C．ba＞ab D．a2＞ab＞b2
【答案】D
【解答】解：选项A，
∵c为实数，∴取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；
选项B，1a-1b=b-aab，
∵a＜b＜0，∴b﹣a＞0，ab＞0，∴b-aab＞0，即1a＞1b，故选项B不成立；
选项C，
∵a＜b＜0，∴取a=﹣2，b=﹣1，则ba=-1-2=12，ab=2，∴此时ba＜ab，故选项C不成立；
选项D，
∵a＜b＜0，∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，∴a2＞ab．∴ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，
∴ab＞b2．故选项D正确，
故选：D．
4.已知a＞b＞0，c≥d＞0，则下列不等式成立的是（　　）
A．ad＞bc B．ad≥bc
C．ad＜bc D．ad≤bc
【答案】A
【解答】解：∵a＞b＞0，c≥d＞0，
∴ad＞bc，
∴ad＞bc，
故选：A．
【名师点睛】本题主要考查不等式的基本性质，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.

不等式的性质
1．（1）a>b，ab>0⇒<；（2）a<0<b⇒<；（3）a>b>0，d>c>0⇒>．
2．若a>b>0，m>0，则
（1）<；>（b–m>0）；（2）>；<（b–m>0）．

5．已知集合A={x|(x-1)(x-4)≤0}，B={x|x-5x-2≤0}，则A∩B=
A．{x|1≤x≤2} B．{x|1≤x<2}
C．{x|2≤x≤4} D．{x|2<x≤4}
【答案】D
【解析】依题意A=[1,4],B=(2,5]，故A∩B=(2,4]，故选D.

1．一元一次不等式的解法
不等式ax>b的解：
（1）当a>0时，x>．
（2）当a<0时，x<．
（3）当a=0时，若b≥0，则无解；若b<0，则x∈R．
2．一元二次不等式的解法
（1）对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解．
（2）解含参数的一元二次不等式的步骤
①若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
②判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
③确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．
（3）三个“二次”间的关系
Δ=b2–4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c
（a>0）的图象

ax2+bx+c=0
（a>0）的根
有两个相异的实数
根x1，x2（x1<x2）
有两个相等的实数
根x1=x2=–
没有实数根
ax2+bx+c>0
（a>0）的解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠–}
R
ax2+bx+c<0
（a>0）的解集
{x|x1<x<x2}
φ
φ
3．分式不等式的解法
分式不等式进行等价转化的方向有两个，一是根据符号法则（同号商为正，异号商为负）将其转化为不等式组；二是根据商与积的符号之间的关系直接转化为整式不等式．
（1）>0⇔f（x）g（x）>0；（2）<0⇔f（x）g（x）<0；
（3）≥0⇔（4）≤0⇔
4．高次不等式的解法（穿针引线法）：
设，解不等式（或）时，将方程的根从小到大依次标到数轴上，作为针眼．用一根线，从数轴的右上方开始穿针引线，每见到一个针眼，便穿过数轴一次，直到穿过全部针眼．数轴上方的部分为正，即为不等式的解；数轴下方的部分为负，即为不等式的解．
注意：
（1）要求的最高次项系数为正；（即：每一个的系数为正，且，若，则不等式两边同时乘以，并改变不等号的方向）
（2）二重根时，按两个针眼对待，即穿过数轴两次；（奇过偶不过）
（3），；
，；
（或）；
（4），当时，的符号是确定的；
（5）永远从数轴右上方开始；
（6）最后结果数轴上方的部分为不等式的解，数轴下方的部分为不等式的解；
（7）不等式右边须为0，否则先移项，使右边为0；
（8）穿针引线法可以用于解高次不等式，也可以用于解一次、二次不等式，或可以转化为高次不等式的分式不等式等．

6．设变量x，y满足约束条件：&y≥x&x+2y≤2&x≥-2，则z=x﹣3y+2的最小值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4
C．﹣6 D．﹣8
【答案】C
【解答】：设变量x、y满足约束条件：&y≥x&x+2y≤2&x≥-2，
在坐标系中画出可行域三角形，
平移直线x﹣3y=0经过点A（﹣2，2）时，z=x﹣3y+2最小，最小值为：﹣6，
则目标函数z=x﹣3y+2的最小值为﹣6．
故选：C．

线性规划的目标函数主要有三种形式：
（1）截距式：，主要根据目标函数对应的直线的纵截距判断最值；
（2）斜率式：，主要根据可行域内的点与定点的连线的斜率判断最值；
（3）距离式：，主要根据可行域内的点与定点的距离的平方判断最值．

7．已知函数，当时，取得最小值，则等于　　
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】B
【解答】：，，

，
当且仅当，即时取等号，
取得最小值，此时，
．
故选：B．
【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足.

均值不等式：，（，），当且仅当时等号成立．
使用均值不等式，注意一正二定三相等的条件；求最值时，要注明等号成立条件．

8．已知2+23=223，3+38=338，4+415=4415，…，若6+at=6at，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，则a+t=
A．35 B．40
C．41 D．42
【答案】C
【解析】由已知归纳总结，可知规律为：当n≥2且n∈N*时，n+nn-1n+1=nnn-1n+1，∴6+65×7=6635，∴a=6，t=35，∴a+t=41.故选C.
【名师点睛】本题考查归纳推理问题，关键是观察出数字与式子之间的规律，属于基础题.
9．设函数f（x）=12x+2，类比课本推导等差数列的前n项和公式的推导方法计算f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3））+…+f（0））+f（1））+…+f（5）+f（6）的值为（　　）
A．322 B．522
C．32 D．22
【答案】C
【解答】：∵f（x）=12x+2
∴f（x）+f（1﹣x）=12x+2+121-x+2
=12x+2+2x2+2×2x
=2x+22(2x+2)=22，
即 f（﹣5）+f（6）=22，f（﹣4）+f（5）=22，f（﹣3）+f（4）=22，
f（﹣2）+f（3）=22，f（﹣1）+f（2）=22，f（0）+f（1）=22，
∴所求的式子值为3 2．
故选：C．

归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象．也具有这些特征的推理．
特点
由部分到整体，由个别到一般的推理．
由特殊到特殊的推理
一般
步骤
（1）通过观察个别对象发现某些相同性质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想）．
（1）找出两类对象之间的相似性或一致性；
（2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

1．已知首项与公比相等的等比数列{an}中，若m，n∈N*，满足ama=a，则的最小值为
A．1 B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】根据题意，设数列{an}的首项和公比均为q（q≠0），则．由得：qm+2n=q8，∴m+2n=8，∴．又m，n∈N*，∴
，当，即m=2n=4时取“=”，∴的最小值为1．故选A．

数列与不等式的交汇问题．解决此类问题要熟记数列的公式，结合均值不等式，要注意均值不等式成立的条件：一正二定三相等．

2．当时，8x<logax，则a的取值范围是
A． B．
C． D．（）
【答案】B
【解析】∵，∴8x∈（1，2]，又当时，8x<logax，∴当时，2<logax，恒成立．
∵，∴a∈．故选B．

不等式恒成立问题，与函数的知识点交汇，可以借助图象，数形结合解决问题．

3．已知数列{an}满足：a1=32，且an=3nan-12an-1+n-1（n≥2，n∈N*）．证明：{1﹣nan}为一个等比数列，求数列{an}的通项公式．
【解答】证：∵an=3nan-12an-1+n-1，两边取倒数得，
∴1an=2an-1+n-13nan-1，两边乘以n，并裂项得，
nan=23+13•n-1an-1，两边减1得，
nan﹣1=﹣13+13•n-1an-1=13（n-1an-1﹣1），
因此，1﹣nan=13•[1﹣n-1an-1]，
故数列{1﹣nan}是以1﹣1a1为首项，以13为公比的等比数列，
所以，1﹣nan=（1﹣1a1）•(13)n-1，其中a1=32，
解得，an=n⋅3n3n-1．

1．直接证明
（1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立
（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．
2．间接证明——反证法
（1）定义
假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫作反证法．
（2）适用范围
①否定性命题；
②命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语．

4．ΔABC的三边长分别为a,b,c，ΔABC的面积为S，则ΔABC的内切圆半径为r=2Sa+b+c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r=
A．VS1+S2+S3+S4 B．2VS1+S2+S3+S4
C．3VS1+S2+S3+S4 D．4VS1+S2+S3+S4
【答案】C
【解析】设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，
设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，
所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为：V=13（S1+S2+S3+S4）r，
∴r=3VS1+S2+S3+S4．
故选：C．
【名师点睛】本题考查四面体的内切球半径的求法及三棱锥体积公式的应用，考查推理论证能力，是基础题．
5．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（　　）
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【答案】C
【解答】：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．
若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．
若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．
故获奖的歌手是丙
故选：C．

1．运用归纳推理的思维步骤：
①发现共性，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；
②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）．一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．
2．类比推理应用的题型及相应方法
（1）类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助定义．
（2）类比性质：对于由一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质提出的类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程．
（3）类比方法：一些处理问题的方法类似，可以把这种方法类比应用到其他问题中，注意知识的迁移．
求解类比推理题的关键：①会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个命题（猜想）．

1.不等式2-xx+1<1的解集是(　　)
A.{x|x>1} B.{x|-1<x<2}
C.xx<-1或x>12 D.x-1<x<12
2．已知一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-2<x<1},则a,b的值为(　　)
A.a=-1,b=-2 B.a=-2,b=-1
C.a=b=-12 D.a=1,b=2
3．已知，，且，则的最大值为　　
A． B． C．1 D．
4．已知正数，满足，则的最小值是　　
A．9 B．10 C．11 D．12
5．已知，，，则的最小值是　　
A．4 B． C．5 D．9
6．函数的最小值为　　
A．2 B．3 C． D．2.5
7．已知，则取最大值时的值为　　
A． B． C． D．
8．设x，y满足约束条件&x-y+1≥0&x+2y-2≥0&4x-y-8≤0，则z=|x+3y|的最大值为（　　）
A．15 B．13
C．3 D．2
9．设x，y满足约束条件&2x-y≥0&x+13y≤1&y≥0，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）
A．2或﹣3 B．3或﹣2
C．﹣13或12 D．﹣13或2
10．设x，y满足约束条件&x-2y≥-2&3x-2y≤3&x+y≥1，若x2+4y2≥m恒成立，则实数m的最大值为（　　）
A．12 B．34
C．45 D．56
11.已知不等式组&y≤-x+2&y≤kx+1&y≥0所表示的平面区域为面积等于94的三角形，则实数k的值为（　　）
A．1 B．﹣2
C．1或﹣2 D．-29

12.若实数x，y满足&x-y-1≤0&x+2y+2≤0&x≥-2，则z=y-3x-2的取值范围是（　　）
A．[34，+∞) B．[32，+∞)
C．[34，2] D．[32，2]
13.已知变量x、y满足约束条件&x+y-3≥0&x-2y+3≥0&x≤3，则yx+1≥12的概率是（　　）
A．25 B．35
C．59 D．49
　14．若x，y满足&x≥0&x+y≤3&y≥2x+1，表示的平面区域为Ω，直线y=kx﹣k与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣7]∪[﹣1，+∞）
C．[﹣7，﹣1] D．（﹣∞，﹣7]
15.若b＜a＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②a+b＞ab；③ab+ba＞2；④a2b＜2a﹣b中正确的不等式有（　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16.已知0<a<b<1，则ab,logba,log1ab的大小关系是
A．log1ab<ab<logba B．log1ab<logba<ab
C．logba<log1ab<ab D．ab<log1ab<logba
17．设正实数a，b，c满足a2–3ab+4b2–c=0，则当取得最大值时，最大值为
A．0 B．1
C． D．3
18．利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…12n-1＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（　　）
A．1项 B．k项
C．2k﹣1项 D．2k项
19.设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（　　）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
20．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai,j，比如a3,2=9，a4,2=15，a5,4=23，若ai,j=2019，则i+j=

A．72 B．71 C．66 D．65
21．用圆的下列性质，类比球的有关性质：
圆：①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；②与圆心距离相等的两弦长相等；③圆的周长为C=2πr；④圆的面积为S=πr2．
球：①球心与截面圆（不过球心）的圆心的连线垂直于截面；②与球心的距离相等的两个截面的面积相等；③球的表面积为S=4πr2；④球的体积为V=πr3．
其中，类比所得结论正确的有
A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③④
22．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
23．周末，某高校一学生宿舍甲、乙、丙、丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自在做的事情的一些判断：
①甲不在看书，也不在写信；
②乙不在写信，也不在听音乐；
③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书；
④丙不在看书，也不在写信．
已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是
A．玩游戏 B．写信 C．听音乐 D．看书
24．不等式2>（）3（x–1）的解集为__________．
25.设函数f（x）=&ex-1，x＜1&x13，x≥1，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是　　．
26.若实数x，y满足&2x-y≥0&y≥x&y≥-x+b且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为　　．
27.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为　　．
28.已知，则函数的最小值为．

1.C【解答】:原不等式等价于2-xx+1-1<0⇔1-2xx+1<0⇔(x+1)·(1-2x)<0⇔(2x-1)(x+1)>0,解得x<-1或x>12.
故选：C
2.C【解答】:由题知a<0且-2,1为方程ax2+bx+1=0的两根,由根与系数的关系可求得a=b=-12.
故选：C
3.A【解答】：，，且，
则，
当且仅当且即，时取得最大值．
故选：．
4.A【解答】：正数，满足，
，
，，
当且仅当时取等号，
的最小值为9．
故选：A．

5.B【解答】：，，，

，
当且仅当，即，时取等号，
故选：B．
6.D【解答】：令，则在，上单调递增，
，即，函数的最小值为2.5，
故选：D．
7.A【解答】：，
则，
当且仅当即时取最大值
故选：A．
8.A【解答】：由约束条件&x-y+1≥0&x+2y-2≥0&4x-y-8≤0作出可行域如图，

联立&x-y+1=0&4x-y-8=0，解得A（3，4），
由图可知，z=|x+3y|=x+3y，化为y=﹣x3+z3．
当直线y=﹣x3+z3过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为15．
故选：A．
9.A【解答】：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．
由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，
若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线x+13y=1平行，此时a=﹣3，
综上a=﹣3或a=2，
故选：A．

10.C【解答】：设a=x，b=2y，则不等式x2+4y2≥m等价为a2+b2≥m，
则约束条件等价为&a-b≥-2&3a-b≤3&2a+b≥2，
作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=a2+b2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离，
由图象知O到直线2a+b=2的距离最小，
此时原点到直线的距离d=|2|22+1=25，
则z=d2=45，
即m≤45，即实数m的最大值为45，
故选：C．

11.A【解答】：∵不等式组&y≤-x+2&y≤kx+1&y≥0所表示的平面区域为面积等于94的三角形，如图：
平面为三角形所以过点（2，0），
∵y=kx+1，与x轴的交点为（﹣1k，0），
y=kx+1与y=﹣x+2的交点为（1k+1，2k+1k+1），
三角形的面积为：12×（2+1k）×2k+1k+1=94，
解得：k=1．
故选：A．
12.C【解答】：作出实数x，y满足&x-y-1≤0&x+2y+2≤0&x≥-2的可行域如图阴影部分所示：
目标函数z=y-3x-2可以认为是D（2，3）与可行域内一点
（x，y）连线的斜率．
当连线过点A时，其最小值为：0-3-2-2=34，
连线经过B时，最大值为：-1-30-2=2，
则z=y-3x-2的取值范围是：[34，2].故选：C．

13.C【解答】：由约束条件&x+y-3≥0&x-2y+3≥0&x≤3画出可行域如图，

则yx+1≥12的几何意义是可行域内的点与Q（﹣1，0）连线的斜率超过12，
由图形可知：直线x=3与直线x﹣2y+1=0的交点为：（3，2），
直线x﹣2y+3=0与x=3的交点（3，3），
∴则yx+1≥12的概率：AB2AC2=49，
则yx+1≥12的概率是：1﹣49=59．
故选：C．
14.C【解答】：作出x，y满足&x≥0&x+y≤3&y≥2x+1对应的平面区域如图：
y=k（x﹣1）过定点P（1，0），由&y=2x+1&x+y=3交点A（23，73），
由图象可知当直线经过点A（23，73），时，直线的斜率最小，此时k=73-023-1=﹣7，
由&x=0&y=2x+1解得B（0，1）
当直线经过点B时，直线的斜率最大，此时k=﹣1，
∴k的取值范围是：[﹣7，﹣1]
故选：C．

15.B【解答】：∵b＜a＜0，∴|a|＜|b|，故①错误；
a+b＜0，ab＞0，则a+b＜ab，故②错误；
∵b＜a＜0，∴ab＞0，ba＞0，则ab+ba≥2ab⋅ba=2，
当且仅当ab=ba，即a=b时，取等号，∵b＜a，∴等号不成立，
故ab+ba＞2，故③正确，
若a2b＜2a﹣b成立，则等价为a2＞2ab﹣b2，
即a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，
∵b＜a＜0，∴（a﹣b）2＞0成立，故④正确，
故正确的命题是③④，
故选：B．
16．A【解析】由题意，可知0<a<b<1，
所以logba>logbb=1,1>ab>0,log1ab<0，所以log1ab<ab<logba，故选A.
【名师点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性的应用，其中解答中合理利用指数函数与对数函数的性质是解答关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
17.B【解析】正实数a，b，c满足a2–3ab+4b2–c=0，可得c=a2–3ab+4b2，，由+≥2=4，当且仅当a=2b取得等号，则a=2b时，取得最大值，且c=2b2，=–（–1）2+1，当b=1时，取得最大值，且为1．故选B．
18.D【解答】：用数学归纳法证明等式1+12+13+…+12n-1＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，
假设n=k时不等式成立，左边=1+12+13+…+12k-1，
则当n=k+1时，左边=1+12+13+…+12k-1+12k+12k+1+…+12k+1-1，
∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：12k+12k+1+…+12k+1-1，
共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，
故选：D．
19.D【解答】：x、y、z为正数，
令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．
则x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5．
∴3y=lgklg33，2x=lgklg2，5z=lgklg55．
∵33=69＞68=2，2=1032＞1025=55．
∴lg33＞lg2＞lg55＞0．
∴3y＜2x＜5z．
另解：x、y、z为正数，
令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．
则x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5．
∴2x3y=23×lg3lg2=lg9lg8＞1，可得2x＞3y，
5z2x=52×lg2lg5=lg25lg52＞1．可得5z＞2x．
综上可得：5z＞2x＞3y．
解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．
故选：D．
20．【答案】B
【解析】奇数2019为第1010个奇数,
按照蛇形排列，第1行到第i行末共有1+2+⋯+i=i1+i2个奇数，
则第1行到第44行末共有990个奇数，
第1行到第45行末共有1035个奇数，则2019位于第45行；
而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；
故2019位于第45行，从右到左第20列，
则i=45,j=26⇒i+j=71，
故选B.
21．【答案】C
【解析】由类比的规则可得点类比线，线类比面，面类比体，长度类比面积，面积类比体积，由圆：①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；②与圆心距离相等的两弦长相等；③圆的周长为C=2πr；④圆的面积为S=πr2．可得，球：①球心与截面圆（不过球心）的圆心的连线垂直于截面；②与球心的距离相等的两个截面的面积相等；③球的表面积为S=4πr2；④球的体积为V=πr3．其中正确答案为①②③④．故选C．
22．【答案】D
【解析】在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推断：①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．都是恰当的．故选D．
23．【答案】D
【解析】由①甲不在看书，也不在写信及④丙不在看书，也不在写信，知当甲在听音乐时，丙在玩游戏；因为②乙不在写信，也不在听音乐，所以乙在看书；从而丁在写信．
可列表如下：
当甲在听音乐时，则乙在看书，如表1；

看书
写信
听音乐
玩游戏
甲
×
×
△

乙
△
×
×

丙
×
×

△
丁

△

由①甲不在看书，也不在写信及④丙不在看书，也不在写信，知当甲在玩游戏时，丙在听音乐；因为②乙不在写信，也不在听音乐，所以乙在看书；从而丁在写信．
可列表如下：
当甲玩游戏时，则乙在看书，如表2．

看书
写信
听音乐
玩游戏
甲
×
×

△
乙
△
×
×

丙
×
×
△

丁

△

故选D．
24．【答案】（–∞，–2）∪（3，+∞）
【解析】不等式2>（）3（x–1）化为2>23–3x，即x2–4x–3>3–3x，∴x2–x–6>0，解得x<–2或x>3，∴原不等式的解集为（–∞，–2）∪（3，+∞）．故答案为：（–∞，–2）∪（3，+∞）．
25.x≤8【解答】：x＜1时，ex﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；
x≥1时，x13≤2，∴x≤8，∴1≤x≤8，
综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．
故答案为：x≤8．
26.94【解答】：由约束条件作出可行域（如图），
当平行直线系y=﹣2x+z经过可行域内的点A（b3，2b3）时，
z取得最小值，即2×b3+2b3=3，解之得b=94．
故答案为：94．

27.9【解答】：由题意得12acsin120°=12asin60°+12csin60°，即ac=a+c，得1a+1c=1，
得4a+c=（4a+c）（1a+1c）=ca+4ac+5≥2ca⋅4ac+5=4+5=9，
当且仅当ca=4ac，即c=2a时，取等号，
故答案为：9．
28.【解答】：，，
．
．
当且仅当，即时取得最小值．
故答案为：．