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课时跟踪练(五十一)
A组 基础巩固
1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4 B．3 C．2 D．5
解析：由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，所以|PF2|＝6，所以|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.
答案：A
2．(2019·凉山州模拟)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：不妨令椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，
所以2b＝，即a＝3b，
则c＝＝2b，
则该椭圆的离心率e＝＝.故选D.
答案：D
3．(2019·武汉模拟)曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：曲线＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.曲线＋＝1(k<9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2，短轴长为2，焦距为8，离心率为.对照选项，知D正确．故选D.
答案：D
4．(2019·德阳模拟)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A．24 B．12
C．8 D．6
解析：因为P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，
又因为|F1F2|＝2c＝2＝10，
所以易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，
因为△PF1F2的重心为点G，所以S△PF1F2＝3S△GPF1，
所以△GPF1的面积为8，故选C.
答案：C
5．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
解析：由题意知，O(0，0)，F(－1，0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，所以·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又因为＋＝1，所以y2＝3－x2，
所以·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.
因为－2≤x≤2，所以当x＝2时，·有最大值6.
答案：C
6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5，4)，则椭圆的标准方程为________．
解析：由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由离心率e＝可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为＋＝1，将P(－5，4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为________．
解析：由题意知|F1F2|＝2，因为|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－4，在△F1PF2中，由余弦定理得cos 120°＝＝－，化简得8a＝24，即a＝3.
答案：3
8．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
解析：满足1·2＝0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若点M总在椭圆内部，则有c<b，即c2<b2，又b2＝a2－c2，所以c2<a2－c2，即2c2<a2，所以e2<，又因为0<e<1，所以0<e<.
答案：
9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意得因此a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)易知|yP|＝4，又c＝3，
所以S△F1PF2＝|yP|×2c＝×4×6＝12.
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，
设B(x，y)．
由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，
解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
B组 素养提升
11．(2019·衡水中学二调)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则|PF1|·|PF2|的值为( )
A．8 B．10
C．12 D．15
解析：由椭圆方程＋＝1，可得c2＝4，所以|F1F2|＝2c＝4，而＝－，所以||＝|－|，两边同时平方，得||2＝||2－2·＋||2，所以||2＋||2＝||2＋2·＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝64，所以34＋2|PF1|·|PF2|＝64，所以|PF1|·|PF2|＝15.故选D.
答案：D
12．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
解析：当0＜m＜3时，椭圆C的长轴在x轴上，
如图(1)，A(－，0)，B(，0)，M(0，)．
图(1)
当点M运动到短轴的端点时，∠AMB取最大值，此时∠AMB≥120°，则|MO|≤1，即0＜m≤1；
当m＞3时，椭圆C的长轴在y轴上，
如图(2)，A(0，)，B(0，－)，M(，0)．
图(2)
当点M运动到短轴的端点时，∠AMB取最大值，此时∠AMB≥120°，则|OA|≥3，即≥3，即m≥9.
综上，m∈(0，1]∪[9，＋∞)，故选A.
答案：A
13．过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：如图所示，|AF2|＝a＋c，|BF2|＝，
所以k＝tan ∠BAF2＝＝＝＝1－e.
又因为＜k＜，
所以＜1－e＜，解得＜e＜.
答案：
14.如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值．
解：设P点坐标为(x0，y0)．
由题意知a＝2，
因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.
所求椭圆方程为＋＝1.
所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.
又F(－1，0)，A(2，0)，＝(－1－x0，－y0)，
＝(2－x0，－y0)，
所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
当x0＝2时，·取得最小值0，
当x0＝－2时，·取得最大值4.
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