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圆的方程
课时作业
1．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( )
A．(－1,1) B．(1，－1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
答案 D
解析 r＝＝，当k＝0时，r最大．所以圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，那么圆心坐标为(0，－1)．
2．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
答案 A
解析 圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，应选A．
3．圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，那么“E＝F＝0且D<0〞是“圆C与y轴相切于原点〞的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 圆C与y轴相切于原点⇔圆C的圆心在x轴上，设圆心的坐标为(a,0)，那么半径r＝|a|.所以当E＝F＝0且D<0时，圆心为，半径为，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0，应选A．
4．(2022·辽宁沈阳联考)圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，那么圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 设圆心为(a,0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，那么圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0，应选D．
5．a∈R，假设方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，那么此圆的圆心坐标为( )
A．(－2，－4)
B．
C．(－2，－4)或
D．不确定
答案 A
解析 ∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，此时方程不表示圆．应选A．
6．(2022·湖北襄阳第一次联考)点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，那么k的取值范围是( )
A．R B．
C． D．
答案 C
解析 圆C：2＋(y＋1)2＝1－k2，因为过点P有两条切线，所以点P在圆外，从而解得－<k<.应选C．
7．(2022·东莞调研)圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，那么实数m的值为( )
A．8 B．－4
C．6 D．无法确定
答案 C
解析 ∵圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，那么x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.应选C．
8．(2022·承德模拟)曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，那么a－b的值是( )
A． B．2
C．＋1 D．－1
答案 C
解析 因为圆心(0,1)到直线x－y－1＝0的距离为＝>1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)到直线x－y－1＝0的距离的最大值为＋1，最小值为点(0,0)到直线x－y－1＝0的距离，为＝，所以a－b＝＋1－＝＋1，应选C．
9．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，那么|MN|＝( )
A．2 B．8
C．4 D．10
答案 C
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A，B，C代入，得解得
那么圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，
那么y1，y2是方程y2＋4y－20＝0的两根，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，
故|MN|＝|y1－y2|＝＝＝4.
10．(2022·厦门模拟)实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，那么m＝x＋y的取值范围是( )
A．(－2，4) B．[－2，4]
C．[－4,4] D．[－4,2]
答案 B
解析 x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半局部，如下图，直线x＋y－m＝0的斜率为－，在y轴上的截距为m.当直线x＋y－m＝0过点(－2,0)时，m＝－2.
设圆心(0,0)到直线x＋y－m＝0的距离为d，那么即解得m∈[－2，4]．
11．(2022·宁夏六盘山模拟)圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，圆心为C，假设过点P的直线l与此圆交于A，B两点，那么当∠ACB最小时，直线l的方程为( )
A．4x－2y－3＝0 B．x＋2y－2＝0
C．4x＋2y－3＝0 D．x－2y＋2＝0
答案 A
解析 圆心坐标为C(0,1)，当弦长|AB|最小时，∠ACB最小，此时直线AB与PC垂直，kl＝＝2，所以直线l的方程为y－＝2(x－1)，即4x－2y－3＝0，应选A．
12．在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，那么四边形ABCD的面积为( )
A．3 B．6
C．4 D．2
答案 D
解析 ∵圆x2＋y2－4x＋2y＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心M(2，－1)，半径r＝，最长弦为圆的直径，∴AC＝2，∵BD为最短弦，∴AC与BD垂直，易求得ME＝，∴BD＝2BE＝2×＝2.∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝·BD·EA＋·BD·EC＝·BD·(EA＋EC)＝·BD·AC＝×2×2＝2.应选D．
13．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1，3)，假设M(m，)在圆C内，那么m的取值范围为________.
答案 (0,4)
解析 设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，
得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.
半径r＝|CA|＝＝.
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
由题意知(m－2)2＋()2<10，解得0<m<4.
14．点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，点C是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是________．
答案 3
解析 点C到直线3x＋4y＋8＝0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，又圆心C的坐标是(1,1)，因此最小距离为＝3.
15．(2022·泰安模拟)x，y满足x2＋y2＝1，那么的最小值为________．
答案
解析 表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，∴的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由＝1，得k＝，结合图形可知≥，∴所求最小值为.
16．(2022·石家庄模拟)如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为____________________；
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．
答案 (1)(x－1)2＋(y－)2＝2 (2)－－1
解析 (1)记AB的中点为D，在Rt△BDC中，易得圆C的半径r＝BC＝，那么圆心C的坐标为(1，)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.
(2)因为点B的坐标为(0，＋1)，点C的坐标为(1，)，所以直线BC的斜率为－1，所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y＝x＋＋1，故切线在x轴上的截距为－－1.
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