2022高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课时作业含解析新人教B版.doc

导数的概念及运算
课时作业
1．y＝ln 的导函数为(　　)
A．y′＝－ B．y′＝
C．y′＝ln x D．y′＝－ln (－x)
答案　A
解析　∵y＝ln ＝－ln x，∴y′＝－.
2．(2022·人大附中月考)曲线y＝在点(3,2)处的切线的斜率是(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
答案　D
解析　y′＝
＝－，故曲线在(3,2)处的切线的斜率
k＝y′|x＝3＝－＝－，应选D．
3．(2022·海南三亚模拟)曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0
C．x＋4y－5＝0 D．x－4y－5＝0
答案　B
解析　y′＝＝－，当x＝1时，y′＝－1，所以切线方程是y－1＝－(x－1)，整理得x＋y－2＝0.应选B．
4．函数f(x)＝x(2022＋ln x)，假设f′(x0)＝2022，那么x0的值为(　　)
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
答案　B
解析　f′(x)＝2022＋ln x＋x·＝2022＋ln x，故由f′(x0)＝2022，得2022＋ln x0＝2022，那么ln x0＝0，解得x0＝1.应选B．
5．假设f′(x0)＝－3，那么 ＝(　　)
A．－3 B．－6
C．－9 D．－12
答案　B
解析　f′(x0)＝－3，那么
＝
＝ ＋
＝2f′(x0)＝－6.
6．假设曲线f(x)＝，g(x)＝xα在点P(1,1)处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，那么实数α的值为(　　)
A．－2 B．2
C． D．－
答案　A
解析　因为f′(x)＝，g′(x)＝αxα－1，所以曲线f(x)，g(x)在点P处的切线斜率分别为k1＝，k2＝α，因为l1⊥l2，所以k1k2＝＝－1，所以α＝－2.应选A．
7．函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2f′(e)x＋ln x，那么f′(e)＝(　　)
A． B．e
C．－ D．－e
答案　C
解析　由f(x)＝2f′(e)x＋ln x，得f′(x)＝2f′(e)＋，那么f′(e)＝2f′(e)＋⇒f′(e)＝－.应选C．
8．曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，那么x0的值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　y＝x3－1⇒y′＝3x2，y＝3－x2⇒y′＝－x，由题意得3x·(－x0)＝－1，解得x＝，即x0＝＝.应选D．
9．函数f(x)在x＝1处的导数为－，那么f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝x2－ln x B．f(x)＝xex
C．f(x)＝sin D．f(x)＝＋
答案　D
解析　A中f′(x)＝′＝x－，
B中f′(x)＝(xex)′＝ex＋xex，
C中f′(x)＝′＝2cos，
D中f′(x)＝′＝－＋.
分别将x＝1代入检验，知D符合．
10．假设P为曲线y＝ln x上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，那么|PQ|min＝(　　)
A．0 B．
C． D．2
答案　C
解析　如下图，直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点P到直线y＝x＋1的距离|PQ|即为所求最小值．(ln x)′＝，令＝1，得x＝1.
故P(1,0)．故|PQ|min＝＝.应选C．
11．(2022·威海质检)函数f(x)＝xln x，假设直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，那么直线l的方程为(　　)
A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
答案　B
解析　设直线l的方程为y＝kx－1，直线l与f(x)的图象的切点为(x0，y0)，那么解得
所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
12．(2022·大连模拟)f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝ln x－3x，那么曲线y＝f(x)在点(－1，－3)处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于(　　)
A．1 B．
C． D．
答案　C
解析　设x<0，那么－x>0，于是f(－x)＝ln (－x)－3(－x)＝ln (－x)＋3x.因为f(x)为偶函数，所以当x<0时，f(x)＝ln (－x)＋3x，f′(x)＝＋3，于是曲线y＝f(x)在点(－1，－3)处的切线斜率k＝f′(－1)＝2，因此切线方程为y＋3＝2(x＋1)，即y＝2x－1，故切线与两坐标轴围成图形的面积S＝×1×＝.应选C．
13．f(x)＝e2－x＋f′(2)(ln x－x)，那么f′(1)＝________.
答案　－e
解析　因为f(x)＝e2－x＋f′(2)(ln x－x)，
所以f′(x)＝－e2－x＋f′(2)，
令x＝1，得f′(1)＝－e＋f′(2)＝－e.
14．函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，假设曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，那么实数m的取值范围是________.
答案　
解析　由题意，知方程f′(x)＝－有解，即ex－m＝－有解，即ex＝m－有解，故只要m－>0，即m>即可．故填.
15．(2022·咸阳模拟)假设函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，那么t＝________，切线方程为________.
答案　－2　y＝1
解析　因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，
所以f′(x)＝3x2＋t－1.
因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，
所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.
16．(2022·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，那么点A的坐标是________.
答案　(e,1)
解析　设A(m，n)，那么曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m)．
又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e)．
再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.
故点A的坐标为(e,1)．
17．设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直，求a＋b的值．
解　对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，
对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，
设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，
由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直．
所以(2x0－2)·(－2x0＋a)＝－1，
即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0，①
又点(x0，y0)在C1与C2上，
故有
⇒2x－(a＋2)x0＋2－b＝0.②
由①②消去x0，可得a＋b＝.
18．函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)假设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)当a＝1时，假设直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程．
解　(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.
(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.
设切点为(x0，y0)，
∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①
f′(x0)＝1－＝k，②
①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.
假设k＝1，那么②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.
∴直线l的方程为y＝(1－e)x－1.