高优指导2021高考数学一轮复习考点规范练29等差数列及其前n项和理含解析北师大版.doc

考点规范练29　等差数列及其前n项和
　考点规范练A册第18页　 
基础巩固组
1.若数列{an}的首项a1=1,且an=an-1+2(n≥2),则a7等于(　　)

A.13 B.14 C.15 D.17
答案:A
解析:∵an=an-1+2(n≥2),∴an-an-1=2.
又a1=1,∴数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列,故a7=1+2×(7-1)=13.
2.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a8=6,则S9等于(　　)
A. B.27 C.54 D.108
答案:B
解析:S9==27.
3.(2015北京,理6)设{an}是等差数列.下列结论中正确的是(　　)
A.若a1+a2>0,则a2+a3>0
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
C.若0<a1<a2,则a2>
D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0
答案:C
解析:设等差数列公差为d.
对于A选项,a1+a2=2a1+d>0,
而a2+a3=2a1+3d不一定大于0;
对于B选项,a1+a3=2a1+2d<0,
a1+a2=2a1+d不一定小于0;
对于C选项,0<a1<a2,则公差d>0,
故a2=;
对于D选项,(a2-a1)(a2-a3)=-d2≤0.故只有C正确.
4.在等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为(　　)
A.14 B.18 C.21 D.27
答案:A
解析:设等差数列{an}的公差为d,
则依题意得由此解得
故a6=a1+5d=7,即a1a6=14.
5.已知每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=2(n∈N+,且n≥2),则a81等于(　　)
A.638 B.639 C.640 D.641〚导学号92950488〛
答案:C
解析:由已知Sn-Sn-1=2,可得=2,∴{}是以1为首项,2为公差的等差数列,
故=2n-1,Sn=(2n-1)2,
∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.
6.(2015广州综合测试)设Sn是等差数列{an}的前n项和,公差d≠0,若S11=132,a3+ak=24,则正整数k的值为(　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
答案:A
解析:依题意得S11==11a6=132,a6=12,于是有a3+ak=24=2a6,因此3+k=2×6=12,k=9,故选A.
7.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是(　　)
A.18 B.19 C.20 D.21
答案:C
解析:a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,
则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=　　　　　. 
答案:60
解析:∵Sn是等差数列{an}的前n项和,
∴S10,S20-S10,S30-S20也成等差数列.
∴2(S20-S10)=S10+(S30-S20).∴S30=60.
9.(2015江苏无锡一模)已知数列{an}中,a1=1,a2=2,当整数n≥2时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则S15=　　　　　. 
答案:211
解析:由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n≥2),∴数列{an}从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,则S15=1+2×14+×2=211.
10.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围为　　　　　　　　　　. 
答案:
解析:由题意知当d<0时,Sn存在最大值.
∵a1=7>0,∴数列{an}中所有非负项的和最大.
又∵当且仅当n=8时,Sn取最大值,
∴
解得-1<d<-.
11.(2015杭州模拟)已知等差数列{an},a10=30,a20=50.
(1)求通项an;
(2)若数列{an}的前n项和Sn=242,求n的值.
解:(1)设公差为d,由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,
得方程组
解得a1=12,d=2.故an=2n+10.
(2)由Sn=na1+d,Sn=242,
得方程12n+×2=242,
解得n=11(n=-22舍去).
12.(2015陕西咸阳模拟)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求通项公式an;
(2)求Sn的最小值;
(3)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.
解:(1)∵数列{an}为等差数列,
∴a3+a4=a2+a5=22.
又a3·a4=117,
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根.
又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,
∴
∴通项公式an=4n-3.
(2)由(1)知a1=1,d=4,
∴Sn=na1+d=2n2-n=2.
∴当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.
(3)由(2)知Sn=2n2-n,
∴bn=,
∴b1=,b2=,b3=.
∵数列{bn}是等差数列,
∴2b2=b1+b3,即×2=,
∴2c2+c=0,
∴c=-(c=0舍去),故c=-.〚导学号92950489〛
能力提升组
13.(2015东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份为(　　)
A. B. C. D.
答案:A
解析:依题意,设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a-2m,a-m,a,a+m,a+2m,
则有
解得a=20,m=,a-2m=,即其中最小一份为,故选A.
14.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N+),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9〚导学号92950490〛
答案:B
解析:∵a1=19,an+1-an=-3,
∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列.
∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.
设{an}的前k项和数值最大,则有k∈N+.
∴≤k≤.
∵k∈N+,∴k=7.
∴满足条件的n的值为7.
15.已知数列{an}是等差数列,a1=tan 225°,a5=13a1,设Sn为数列{(-1)nan}的前n项和,则S2 016=(　　)
A.2 014 B.-2 014
C.3 024 D.-3 021〚导学号92950491〛
答案:C
解析:∵a1=tan 225°=1,∴a5=13a1=13,
则公差d==3,∴an=3n-2.
又∵(-1)nan=(-1)n(3n-2),
∴Sn=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2 012-a2 011)+(a2 014-a2 013)+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024.
16.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为　　　　　.〚导学号92950492〛 
答案:-49
解析:设数列{an}的首项为a1,公差为d,
则S10=10a1+d=10a1+45d=0,①
S15=15a1+d=15a1+105d=25.②
联立①②,得a1=-3,d=,
∴Sn=-3n+n2-n.
令f(n)=nSn,则f(n)=n3-n2,f'(n)=n2-n.
令f'(n)=0,得n=0或n=.
当n>时,f'(n)>0,0<n<时,f'(n)<0,
∴当n=时,f(n)取最小值,而n∈N+,
则f(6)=-48,f(7)=-49,
∴当n=7时,f(n)取最小值-49.
17.(2015安徽宿州调研)已知函数f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7.
(1)设函数y=f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列;
(2)设函数y=f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成数列{bn},求{bn}的前n项和Sn.
解:(1)证明:∵f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7
=[x-(n+1)]2+3n-8,∴an=3n-8,
∵an+1-an=3(n+1)-8-(3n-8)=3,
∴数列{an}为等差数列.
(2)由题意知,bn=|an|=|3n-8|,
∴当1≤n≤2时,bn=8-3n,
Sn=b1+…+bn=
=;
当n≥3时,bn=3n-8,
Sn=b1+b2+b3+…+bn=5+2+1+…+(3n-8)
=7+.
∴Sn=〚导学号92950493〛

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