高优指导2021版高考数学一轮复习第六章数列28等差数列及其前n项和考点规范练文北师大版.doc

考点规范练28　等差数列及其前n项和
　考点规范练B册第18页　 
基础巩固组
1.若数列{an}的首项a1=1,且an=an-1+2(n≥2),则a7等于(　　)

A.13 B.14 C.15 D.17
答案:A
解析:∵an=an-1+2(n≥2),∴an-an-1=2.
又a1=1,∴数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列,故a7=1+2×(7-1)=13.
2.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=(　　)
A.5 B.8 C.10 D.14
答案:B
解析:由等差数列的性质,可知a1+a7=a3+a5.
因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8.故选B.
3.设{an}是等差数列.下列结论中正确的是(　　)
A.若a1+a2>0,则a2+a3>0
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
C.若0<a1<a2,则a2>
D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0〚导学号32470769〛
答案:C
解析:设等差数列公差为d.
对于A选项,a1+a2=2a1+d>0,
而a2+a3=2a1+3d不一定大于0;
对于B选项,a1+a3=2a1+2d<0,
a1+a2=2a1+d不一定小于0;
对于C选项,0<a1<a2,则公差d>0,
故a2=;
对于D选项,(a2-a1)(a2-a3)=-d2≤0.故只有C正确.
4.在等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为(　　)
A.14 B.18 C.21 D.27
答案:A
解析:设等差数列{an}的公差为d,
则依题意得由此解得
故a6=a1+5d=7,即a1a6=14.
5.已知每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=2(n∈N+,且n≥2),则a81等于(　　)
A.638 B.639 C.640 D.641〚导学号32470770〛
答案:C
解析:由已知Sn-Sn-1=2,可得=2,∴{}是以1为首项,2为公差的等差数列,
故=2n-1,Sn=(2n-1)2,
∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.
6.(2015石家庄模拟)已知等差数列{an},且3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则数列{an}前13项的和为(　　)
A.24 B.39 C.104 D.52
答案:D
解析:∵{an}是等差数列,∴3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=6a4+6a10=48,所以a4+a10=8,其前13项的和为=52,故选D.
7.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是(　　)
A.18 B.19 C.20 D.21〚导学号32470771〛
答案:C
解析:a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,
则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,
因此当Sn取得最大值时,n=20.
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=　　　　　. 
答案:60
解析:∵Sn是等差数列{an}的前n项和,
∴S10,S20-S10,S30-S20也成等差数列.
∴2(S20-S10)=S10+(S30-S20).∴S30=60.
9.(2015安徽,文13)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),则数列{an}的前9项和等于　　　　　. 
答案:27
解析:由已知条件得an-an-1=(n≥2),∴数列{an}是以1为首项,为公差的等差数列,由等差数列前n项和公式得S9=9×1+=27.
10.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围为　　　　　　　　　　.〚导学号32470772〛 
答案:
解析:由题意知当d<0时,Sn存在最大值.
∵a1=7>0,∴数列{an}中所有非负项的和最大.
又∵当且仅当n=8时,Sn取最大值,
∴
解得-1<d<-.
11.(2015杭州模拟)已知等差数列{an},a10=30,a20=50.
(1)求通项an;
(2)若数列{an}的前n项和Sn=242,求n的值.
解:(1)设公差为d,由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,
得方程组
解得a1=12,d=2.故an=2n+10.
(2)由Sn=na1+d,Sn=242,
得方程12n+×2=242,
解得n=11(n=-22舍去).
12.(2015陕西咸阳模拟)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求通项公式an;
(2)求Sn的最小值;
(3)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.
解:(1)∵数列{an}为等差数列,
∴a3+a4=a2+a5=22.
又a3·a4=117,
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根.
又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,
∴
∴通项公式an=4n-3.
(2)由(1)知a1=1,d=4,
∴Sn=na1+d=2n2-n=2.
∴当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.
(3)由(2)知Sn=2n2-n,
∴bn=,
∴b1=,b2=,b3=.
∵数列{bn}是等差数列,
∴2b2=b1+b3,即×2=,
∴2c2+c=0,
∴c=-(c=0舍去),故c=-.〚导学号32470773〛
能力提升组
13.(2015东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份为(　　)
A. B. C. D.
答案:A
解析:依题意,设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a-2m,a-m,a,a+m,a+2m,则有

解得a=20,m=,a-2m=,即其中最小一份为,故选A.
14.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N+),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
答案:B
解析:∵a1=19,an+1-an=-3,
∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列.
∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.
设{an}的前k项和数值最大,
则有k∈N+.
∴≤k≤.
∵k∈N+,∴k=7.
∴满足条件的n的值为7.
15.已知数列{an}是等差数列,a1=tan 225°,a5=13a1,设Sn为数列{(-1)nan}的前n项和,则S2 016=(　　)
A.2 014 B.-2 014
C.3 024 D.-3 021〚导学号32470774〛
答案:C
解析:∵a1=tan 225°=1,∴a5=13a1=13,
则公差d==3,∴an=3n-2.
又∵(-1)nan=(-1)n(3n-2),
∴Sn=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2 012-a2 011)+(a2 014-a2 013)+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024.
16.已知正项数列{an}满足:a1=1,a2=2,2(n∈N+,n≥2),则a7=　　　　　. 
答案:
解析:∵2(n∈N+,n≥2),
∴数列{}是以=1为首项,以d==4-1=3为公差的等差数列.
∴=1+3(n-1)=3n-2.
∴an=,n≥1.
∴a7=.
17.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=+2(n-1)(n∈N+).
(1)求证:数列{an}为等差数列,并求an与Sn.
(2)是否存在自然数n,使得S1++…+-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明:由an=+2(n-1),得Sn=nan-2n(n-1)(n∈N+).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)·an-1-4(n-1),
即an-an-1=4,
故数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列.
于是,an=4n-3,Sn==2n2-n(n∈N+).
(2)解:由(1),得=2n-1(n∈N+).
又S1++…+-(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.
令2n-1=2 015,得n=1 008,
即存在满足条件的自然数n=1 008.〚导学号32470775〛

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