高优指导2021高考数学一轮复习考点规范练30等比数列及其前n项和理含解析北师大版.doc

考点规范练30　等比数列及其前n项和
　考点规范练B册第19页　 
基础巩固组
1.若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比q为(　　)

A.2 B.4 C.8 D.16
答案:B
解析:由anan+1=16n,可得an+1an+2=16n+1,
两式相除得,=16,∴q2=16.
∵anan+1=16n,可知公比q为正数,∴q=4.
2.在正项等比数列{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　)
A. B.9 C.±9 D.35
答案:B
解析:依题意知a2·a48=3.又a1·a49=a2·a48==3,a25>0,
∴a1·a2·a25·a48·a49==9.选B.
3.已知一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了4个伙伴;第2天,5只蜜蜂飞出去,各自找回了4个伙伴,……按照这个规律继续下去,第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂(　　)
A.420只 B.520只
C.只 D.只
答案:B
解析:由题意,可设蜂巢里的蜜蜂数为数列{an},则a1=1+4=5,a2=5×4+5=25,…,an=5an-1,故数列{an}为等比数列,首项a1=5,公比q=5,故第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有a20=5×519=520只蜜蜂.
4.(2015河南新乡、许昌、平顶山调研)设{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和,对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,则S101的值为(　　)
A.2 B.200 C.-2 D.0
答案:A
解析:设等比数列{an}的公比为q.
∵an+2an+1+an+2=0,∴a1+2a2+a3=0.
∴a1+2a1q+a1q2=0.∴q2+2q+1=0.∴q=-1.
又a1=2,∴S101==2.
5.(2015四川模拟)正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,若存在am,an,使得aman=16,则的最小值为(　　)
A. B. C. D.〚导学号92950812〛
答案:D
解析:由a3=a2+2a1,得q2=q+2,
∴q=2(q=-1舍去).
由aman=16得2m-12n-1=16,
∵m+n-2=4,∴m+n=6.
∴
≥.
6.(2015兰州模拟)已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N+),且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值是(　　)
A.- B.-5 C.5 D.
答案:B
解析:由log3an+1=log3an+1(n∈N+),
得log3an+1-log3an=1且an>0,即log3=1,
解得=3,∴数列{an}是公比为3的等比数列.
∵a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3,
∴a5+a7+a9=9×33=35.
∴lo(a5+a7+a9)=lo35=-log335=-5.
7.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=(　　)
A.31 B.32 C.63 D.64
答案:C
解析:∵S2=3,S4=15,∴由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,
∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),
即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.
8.设数列{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.
答案:-
解析:由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+×(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理得2a1+1=0,解得a1=-.
9.(2015江西新余模拟)等比数列{an}中,已知a1+a2=,a3+a4=1,则a7+a8的值为　　　　　. 
答案:4
解析:∵数列{an}是等比数列,a1+a2=,a3+a4=1,
∴q2==2.
又可知数列{an+an+1}也是等比数列,且公比也为q,
故a7+a8=(a1+a2)·q6=×23=4.
10.已知数列{an}是公比为2的等比数列,若a3-a1=6,则+…+=　　　　　.〚导学号92950813〛 
答案:
解析:∵{an}是公比为2的等比数列,且a3-a1=6,
∴4a1-a1=6,即a1=2.∴an=2·2n-1=2n.
∴,即数列是首项为,公比为的等比数列.
∴+…+.
11.已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.
解:(1)设{an}的公差为d,
则由已知条件得a1+2d=2,3a1+d=,
化简得a1+2d=2,a1+d=,
解得a1=1,d=,
故通项公式an=1+,即an=.
(2)由(1)得b1=1,b4=a15==8.
设{bn}的公比为q,则q3==8,从而q=2,
故{bn}的前n项和Tn==2n-1.
12.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n.
(1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3;
(2)求证:数列为等比数列,并求出{an}的通项公式.
(1)解:在Sn=2an+(-1)n中分别令n=1,2,3,得
解得
(2)证明:由Sn=2an+(-1)n(n∈N+)得:
Sn-1=2an-1+(-1)n-1(n≥2),两式相减得:
an=2an-1-2(-1)n(n≥2).
∴an=2an-1-(-1)n-(-1)n
=2an-1+(-1)n-1-(-1)n(n≥2),
∴an+(-1)n=2(n≥2).
∴数列是以a1-为首项,公比为2的等比数列.
∴an+(-1)n=×2n-1.
∴an=×2n-1-×(-1)n=(-1)n.〚导学号92950814〛
能力提升组
13.(2015哈三中模拟)等比数列{an}中,满足a1+a2+a3+a4+a5=3,=15,则a1-a2+a3-a4+a5的值是(　　)
A.3 B. C.- D.5
答案:D
解析:由条件知=5,
∴a1-a2+a3-a4+a5==5.
14.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,则项数n为(　　)
A.12 B.14 C.15 D.16
答案:D
解析:设等比数列{an}的公比为q,
则=q4=2.
由a1+a2+a3+a4=1,得a1·=1,∴a1=q-1.
又Sn=15,即=15,∴qn=16.
又q4=2,∴n=16.故选D.
15.(2015兰州、张掖联考)已知数列{an}的首项为1,数列{bn}为等比数列且bn=,若b10·b11=2,则a21=　　　　　.〚导学号92950816〛 
答案:1 024
解析:∵b1==a2,b2=,∴a3=b2a2=b1b2.
∵b3=,∴a4=b1b2b3,…,an=b1b2b3·…·bn-1,
∴a21=b1b2b3·…·b20=(b10b11)10=210=1 024.
16.(2015陕西宝鸡模拟)已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).
(1)求证:{an+1+2an}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
解:(1)证明:∵an+1=an+6an-1(n≥2),
∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).
又a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15,
∴an+2an-1≠0(n≥2),∴=3(n≥2),
∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.
(2)由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,
则an+1=-2an+5×3n,
∴an+1-3n+1=-2(an-3n).
又a1-3=2,∴an-3n≠0,
∴{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.
∴an-3n=2×(-2)n-1,
即an=2×(-2)n-1+3n.〚导学号92950817〛

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