2022届高考数学一轮复习第六章数列课时跟踪训练33数列求和文.doc

课时跟踪训练(三十三) 数列求和
[根底稳固]
一、选择题
1．(2022·湖南师大附中月考)公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，那么的值为(　　)
A．2 B．3 C．－2 D．－3
[解析]　设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d.
因为a1、a3、a4成等比数列，
所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，解得：a1＝－4d.
所以＝＝2，应选A.
[答案]　A
2．(2022·河南百校联盟质量监测)等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝－20，那么－6a4＋3a5＝(　　)
A．－20 B．4 C．12 D．20
[解析]　设{an}的公差为d，∵S5＝＝－20，∴a1＋a5＝－8，∴a3＝－4.又－6a4＋3a5＝－6(a3＋d)＋3(a3＋2d)＝－3a3＝12.选C.
[答案]　C
3．等比数列{an}的首项为1，假设4a1,2a2，a3成等差数列，那么数列的前5项和为(　　)
A. B．2 C. D.
[解析]　设数列{an}的公比为q，那么有4＋q2＝2×2q，解得q＝2，所以an＝2n－1.
＝，所以S5＝＝.应选A.
[答案]　A
4．数列{an}是等差数列，a1＝tan225°，a5＝13a1，设Sn为数列{(－1)nan}的前n项和，那么S2022＝(　　)
A．2022 B．－2018 C．3027 D．－3027
[解析]　由题意得a1＝1，a5＝13，∵{an}是等差数列，∴公差d＝3，∴an＝3n－2，∴S2022＝－1＋4－7＋10－13＋17＋…－6049＋6052＝3×＝3027，选C.
[答案]　C
5．(2022·安徽安庆模拟)数列{an}满足an＋2＝－an(n∈N＋)，且a1＝1，a2＝2，那么数列{an}的前2022项的和为(　　)
A．2 B．－3 C．3 D．1
[解析]　∵an＋2＝－an＝－(－an－2)＝an－2，n>2，∴数列{an}是以4为周期的周期数列．S2022＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2022＝504(a1＋a2－a1－a2)＋a504×4＋1＝a1＝1.应选D.
[答案]　D
6.＋＋＋…＋的值为(　　)
A. B.－
C.－ D.－－
[解析]　因为＝＝＝
所以原式＝

＝
＝－，应选C.
[答案]　C
二、填空题
7．假设数列{an}的通项公式为an＝，前n项和为Sn，那么S16＝________.
[解析]　由an＝＝，
得S16＝(－1＋－＋－＋…＋－＋－)＝(＋－－1)＝.
[答案]　
8．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，那么S21＝________.
[解析]　依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，那么an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，那么a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6.
[答案]　6
9．(2022·陕西西安期中)如果数列{an}的前n项之和为Sn＝3＋2n，那么a＋a＋a＋…＋a＝________.
[解析]　∵Sn＝3＋2n，∴Sn－1＝3＋2n－1(n≥2)，∴an＝2n－2n－1＝2n－1，∴a＝4n－1，n＝1时a1＝S1＝5，
∴当n≥2时，a＋a＋a＋…＋a＝25＋＝；
当n＝1时a＝25也适合上式，故a＋…＋a＝.
[答案]　
三、解答题
10．(2022·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
[解]　(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，
a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．
两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)．
又由题设可得a1＝2也适合，从而{an}的通项公式为an＝.
(2)记的前n项和为Sn.
由(1)知＝＝－.
那么Sn＝－＋－＋…＋－＝.
[能力提升]
11．假设an>0，Sn＝a1＋a2＋…＋an，且2Sn＝an＋(n∈N*)，那么S2022＝(　　)
A．2022＋ B．2022－
C．2022 D.
[解析]　令n＝1，那么2S1＝a1＋，所以a1＝1，S1＝1；令n＝2，那么2(a1＋a2)＝a2＋，所以a2＝－1，S2＝；令n＝3，那么2(＋a3)＝a3＋，解得a3＝－，S3＝；依此类推，a2022＝－，S2022＝.应选D.
[答案]　D
12．(2022·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码〞的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项为哪一项20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　)
A．440 B．330 C．220 D．110
[解析]　设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，那么第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意可知，N>100，令>100，所以n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．易得第n组的所有项的和为＝2n－1，前n组的所有项的和为－n＝2n＋1－n－2.设满足条件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N*)个数，第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，即2t－1＝k＋2，所以2t＝k＋3，所以t＝log2(k＋3)，所以当t＝4，k＝13时，N＝＋4＝95<100，不满足题意，当t＝5，k＝29时，N＝＋5＝440，当t>5时，N>440，应选A.
[答案]　A
13．(2022·安徽马鞍山期中)设数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，那么S120＝(　　)
A．－60 B．－120 C．180 D．240
[解析]　由an＝(－1)n(2n－1)cos＋1，得
a1＝－cos＋1＝1，a2＝3cosπ＋1＝－2，
a3＝－5cos＋1＝1，a4＝7cos2π＋1＝8，
a5＝－9cos＋1＝1，a6＝11cos3π＋1＝－10，
a7＝－13cos＋1＝1，a8＝15cos4π＋1＝16，
…
由上可知，数列{an}的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，∴S120＝(a1＋a3＋…＋a119)＋(a2＋a4＋…＋a58＋a120)＝60＋30×6＝240.应选D.
[答案]　D
14．(2022·河北邯郸质量检测)在公差大于1的等差数列{an}中，a＝64，a2＋a5＋a8＝36，那么数列{|an|}的前20项和为________．
[解析]　∵a2＋a5＋a8＝3a5＝36，∴a5＝12，∵a＝64，∴a1＝±8.
当a1＝8，d＝1，不合题意．
当a1＝－8，d＝5>1，∴an＝5n－13.
故数列{|an|}的前20项和为8＋3＋2＋＝812.
[答案]　812
15．(2022·广东珠海模拟)等差数列{an}的首项为a，公差为d，n∈N*，且不等式ax2－3x＋2<0的解集为(1，d)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)假设bn＝3an＋an－1，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)易知a≠0，由题设可知
解得
故数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝32n－1＋2n－1－1，
那么Tn＝(3＋1)＋(33＋3)＋…＋(32n－1＋2n－1)－n
＝(31＋33＋…＋32n－1)＋(1＋3＋…＋2n－1)－n
＝＋－n
＝(9n－1)＋n2－n.
16．(2022·山东枣庄期末质量检测)Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和，a1∈(0,2)，a＋3an＋2＝6Sn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，假设对∀n∈N*，t≤4Tn恒成立，求实数t的最大值．
[解]　(1)当n＝1时，由a＋3an＋2＝6Sn，得a＋3a1＋2＝6a1，即a－3a1＋2＝0.
又a1∈(0,2)，解得a1＝1.
由a＋3an＋2＝6Sn，可知a＋3an＋1＋2＝6Sn＋1.
两式相减，得a－a＋3(an＋1－an)＝6an＋1，
即(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0.由于an>0，可得an＋1－an－3＝0.即an＋1－an＝3，所以{an}是首项为1，公差为3的等差数列．
所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)由an＝3n－2，可得
bn＝＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝.
因为Tn＋1－Tn＝－＝>0，
所以Tn＋1>Tn，所以数列{Tn}是递增数列．
所以t≤4Tn⇔≤Tn⇔≤T1＝⇔t≤1，
所以实数t的最大值是1.
[延伸拓展]
　下面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是2，从外到内，第n个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为Sn(n∈N*)．
(1)证明：Sn＝2Sn＋1(n∈N*)；
(2)证明：S1＋S2＋…＋Sn<8－2π.
[证明]　(1)设第n(n∈N*)个正方形的边长为an，那么其内切圆半径为，第n＋1个正方形的边长为an，其内切圆半径为an，所以Sn＝a－π2＝a(n∈N*)，Sn＋1＝2－π2＝a＝Sn(n∈N*)．所以Sn＝2Sn＋1(n∈N*)．
(2)由(1)可知，S1＝22×＝4－π，S2＝2－，…，Sn＝
(4－π)n－1，所以Tn＝S1＋S2＋…＋Sn＝(4－
π)×＝(4－π)×＝(8－2π)<8－2π.