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核心素养测评三十九 等 比 数 列
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a满足的条件是 ( )
A.{a|a≠1} B.{a|a≠0或a≠1}
C.{a|a≠0} D.{a|a≠0且a≠1}
【解析】选D.由等比数列定义可知a≠0且1-a≠0,即a≠0且a≠1.
【变式备选】
数列{an}满足:an+1=λan-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值等于 ( )
A.1 B.-1 C. D.2
【解析】选D.由an+1=λan-1,得an+1-1=λan-2=λ(an-).由于数列{an-1}是等比数列,所以=1,得λ=2.
2.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离(单位:米)为
( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:米)为S5=
==.
3.已知各项不为0的等差数列{an}满足a6-+a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2·b8·b11= ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】选D.由等差数列的性质得a6+a8=2a7.由a6-+a8=0可得a7=2,所以b7=a7=2.由等比数列的性质得b2b8b11=b2b7b12==23=8.
【变式备选】
已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以为首项的等比数列,则等于
( )
A. B.或
C. D.以上都不对
【解析】选B.设a,b,c,d是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根,不妨设a<c<d<b,则a·b=c·d=2,a=,故b=4,根据等比数列的性质,得到:c=1,d=2,则m=a+b=,n=c+d=3或m=c+d=3,n=a+b=,则=或=.
4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b,则= ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【解析】选A.因为等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b,
所以a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,
a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a,
因为等比数列{an}中,=a1a3,
所以(2a)2=(a+b)×6a,解得=-3.
5.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的一个可能值为 世纪金榜导学号( )
A. B. C. D.
【解析】选C.设三角形的三边分别为a,aq,aq2,
其中q>0.则由三角形三边不等关系知:
当q>1时.a+aq>a·q2,即q2-q-1<0
所以<q<,所以1<q<.
当0<q<1时.a为最大边.
aq+a·q2>a,则q2+q-1>0,
所以q>或q<-,
所以<q<1.
当q=1时,满足题意,
综上知,C满足题意.
【变式备选】
在递增的等比数列{an}中,已知a1+an=34,a3·an-2=64,且前n项和Sn=42,则n等于
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选A.因为{an}为等比数列,
所以a3·an-2=a1·an=64.又a1+an=34,
所以a1,an是方程x2-34x+64=0的两根,
解得或
又因为{an}是递增数列,所以
由Sn===42,
解得q=4.由an=a1qn-1=2×4n-1=32,
解得n=3.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=________________.
【解析】设{an}的公比为q,因为所以
由①②可得=2,所以q=,将q=代入①得a1=2,
所以an=2×=,所以Sn==4,所以==2n-1.
答案:2n-1
【变式备选】
在等比数列{an}中,已知a1=-1,a4=64,则q=________________,
S4=________________.
【解析】因为a4=a1·q3,所以q3=-64,q=-4,S4===51.
答案:-4 51
7.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=________________.
【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1=,=a6,所以=q5,又q≠0,所以q=3,所以S5===.
答案:
【变式备选】
等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=________________.
【解析】设等比数列{an}的公比为q,则由S6≠2S3得q≠1,
则S3==,S6==,解得q=2,a1=,则a8=a1q7=×27=32.
答案:32
8.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=________________.
【解析】因为数列{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,所以a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以a10a11=e5,所以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.
答案:50
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列中,a1=1,a5=4a3. 世纪金榜导学号
(1)求的通项公式.
(2)记Sn为的前n项和.若Sm=63,求m.
【解析】(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.
由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
若an=2n-1,则Sn=2n-1.
由Sm=63得2m=64,解得m=6.
综上,m=6.
10.(2020·郑州模拟)已知等比数列{an}的公比q>0,其前n项和为Sn,且S5=62,a4,a5的等差中项为3a3. 世纪金榜导学号
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)因为a4+a5=6a3,所以a1q3+a1q4=6a1q2,
即q2+q-6=0,
解得q=2或q=-3(舍去).
所以S5==31a1=62,a1=2,
所以an=2·2n-1=2n.
(2)因为bn==
=,
所以Tn=b1+b2+…+bn
=
=
==-.
(15分钟 35分)
1.(5分)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是 ( )
A.a,b,c成公比为2的等比数列,且a=
B.a,b,c成公比为2的等比数列,且c=
C.a,b,c成公比为的等比数列,且a=
D.a,b,c成公比为的等比数列,且c=
【解析】选D.由题意可得,a,b,c成公比为的等比数列,b=a,c=b,三者之和为50升,故4c+2c+c=50,解得c=.
【变式备选】
已知等比数列{an}的公比q=2,前100项和为S100=90,则其偶数项a2+a4+…+a100为
( )
A.15 B.30 C.45 D.60
【解析】选D.S100=a1+a2+…+a100=90,设S=a1+a3+…+a99,则2S=a2+a4+…+a100,
所以S+2S=90,S=30,故a2+a4+…+a100=2S=60.
2.(5分)在等比数列{an}中,a2,a16是方程x2-6x+2=0的根,则= ( )
A.- B.-
C. D.-或
【解析】选D.由题意可得a2a16=2,又由等比数列的性质可知a2a16==2,所以a9=±,所以==a9=±.
【变式备选】
在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则= ( )
A.2 B.2 C.1 D.-2
【解析】选A.由题知,a3+a15=6>0,a3a15=8>0,则a3>0,a15>0,由等比数列的性质知a1a17=a3a15=8=⇒a9=±2.设等比数列{an}的公比为q,则a9=a3q6>0,故a9=2,故==2.
3.(5分)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=________________.
【解析】设等比数列的公比为q,由已知
S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,即q2+q+=0,
解得q=-,所以S4===.
答案:
【变式备选】
设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差数列,则q为________________.
【解析】若q=1,则Sn=na1,所以{Sn}是等差数列;
若q≠1,则当{Sn}是等差数列时,一定有2S2=S1+S3,
所以2·=a1+,
即q3-2q2+q=0,故q(q-1)2=0,
所以q=0或q=1,
而q≠0,q≠1,所以此时不成立.
综上可知,q=1.
答案:1
4.(10分)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,若a1=1,a2a4=16. 世纪金榜导学号
(1)设bn=log2an,求数列{bn}的通项公式.
(2)求数列{an·bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)因为a1=1,a2·a4=16,
由等比数列的性质可得,a2·a4==16且an>0,
所以a3=4,
所以q2==4,所以q=2或q=-2(舍去),
所以an=2n-1,
因为bn=log2an=log22n-1=n-1,
所以bn=n-1.
(2)由(1)得an·bn=(n-1)·2n-1,
Sn=0·20+1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1 ①
2Sn=0·21+1·22+…+(n-2)·2n-1+(n-1)·2n ②
①-②得
-Sn=2+22+23+…+2n-1-(n-1)·2n
=-(n-1)·2n
=2n(2-n)-2
所以Sn=(n-2)·2n+2.
5.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=(n∈N*). 世纪金榜导学号
(1)若数列{an+t}是等比数列,求t的值.
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)当n=1时,由a1==得a1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,所以a2=3,a3=7.
依题意得(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1,当t=1时,an+1=2(an-1+1),n≥2,即{an+1}为等比数列成立,故实数t的值为1.
(2)由(1)知当n≥2时,an+1=2(an-1+1),又因为a1+1=2,所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2×2n-1=2n,所以an=2n-1.
【变式备选】
1.已知在正项数列{an}中,a1=2,点An(,)在双曲线y2-x2=1上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线y=-x+1上,其中Tn是数列{bn}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求证:数列{bn}是等比数列.
【解析】(1)由点An在y2-x2=1上知an+1-an=1,所以数列{an}是一个以2为首项,1为公差的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.
(2)因为点(bn,Tn)在直线y=-x+1上,
所以Tn=-bn+1,①
所以Tn-1=-bn-1+1(n≥2).②
①-②得bn=-bn+bn-1(n≥2),
所以bn=bn-1,所以bn=bn-1(n≥2),
在①式中令n=1,得T1=b1=-b1+1,所以b1=,所以{bn}是一个以为首项,以为公比的等比数列.
2.已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)证明:Sn+≤(n∈N*).
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,
因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以2S3=4S4-2S2,即S3=2S4-S2,即S4-S3=S2-S4,
可得2a4=-a3,于是q==-.
又a1=,所以等比数列{an}的通项公式为
an=×=(-1)n-1·.
(2)由(1)知,Sn=1-,
Sn+=1-+
=
当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小,
所以Sn+≤S1+=.
当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,
所以Sn+≤S2+=.
故对于n∈N*,有Sn+≤.
1.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为
世纪金榜导学号( )
A.f B.f C.f D.f
【解析】选D.这13个单音构成了一个以f为首项,为公比的等比数列,所以an=a1qn-1=f·()n-1,即a8=f.
2.(2020·郑州模拟)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,
且an=若Sm>2 020,则正整数m的最小值为
( )
世纪金榜导学号
A.15 B.16 C.17 D.18
【解析】选C.由题意知a2k=a2k-1+1,a2k+1=2a2k+1,
所以a2k+1=2(a2k-1+1)+1=2a2k-1+3,
即a2k+1+3=2(a2k-1+3).
又a1+3=4,所以数列是以4为首项,2为公比的等比数列,
所以a2k-1=4·2k-1-3,a2k=4·2k-1-2,
所以S奇=a1+a3+…+a2k-1=-3k=2k+2-4-3k,
S偶=a2+a4+…+a2k=2k+2-4-2k,
所以S2k=S奇+S偶=2k+3-8-5k.
当k=8时,S16=2 000<2 020.
又a17=1021,所以S17=3 021>2 020,故正整数m的最小值为17.
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