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第一节 函数及其表示
A级·基础过关|固根基|
1.函数f(x)＝－的定义域为( )
A．[0，2) B．(2，＋∞)
C．[0，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选C 由题意知解得所以函数的定义域为[0，2)∪(2，＋∞)．
2．如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
解析：选D 由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意．
3．(2019届长沙模拟)已知f(x)＝则f＋f的值等于( )
A．－2 B．4
C．2 D．－4
解析：选B 由题意得f＝2×＝，
f＝f＝f＝2×＝，
所以f＋f＝4.
4．已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为( )
A．[0，1] B．[0，2]
C．[1，2] D．[1，3]
解析：选A 由题意，得解得0≤x≤1.故选A.
5．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选B 令t＝x－1，则x＝2t＋2，
所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，
所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝.
6．已知函数f(x)＝则满足f(a)≥2的实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(0，＋∞) B．(－1，0)
C．(－2，0) D．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
解析：选D 因为函数f(x)＝且f(a)≥2，所以或解得a≤－1或a≥0.故选D.
7．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析：选D 当x＞0时，|x|＝x，sgn x＝1，则|x|＝xsgn x；
当x＜0时，|x|＝－x，sgn x＝－1，则|x|＝xsgn x；
当x＝0时，|x|＝x＝0，sgn x＝0，则|x|＝xsgn x.
8．(2019届海淀期末)下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ①y＝3－x的定义域与值域均为R，②y＝2x－1(x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为，③y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)，④y＝的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.
9．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________．
解析：当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3无解；
当a>1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8，
解得a＝7，
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－.
答案：－
10．已知函数f(x)满足f＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________．
解析：令x＝2，可得f＋f(－2)＝4，①
令x＝－，可得f(－2)－2f＝－1.②
联立①②，解得f(－2)＝.
答案：
11．(2020届陕西省百校联盟高三第一次模拟)设函数f(x)＝则使1<f(x)<2成立的x的取值范围是________．
解析：由不等式1<f(x)<2得①或②.解①得x<0；解②得4<x<9.因此，使不等式1<f(x)<2成立的x的取值范围是(－∞，0)∪(4，9)．
答案：(－∞，0)∪(4，9)
12．(2019届吉林调研)设函数f(x)＝则f[f(0)]＝________，若f(m)>1，则实数m的取值范围是________．
解析：f[f(0)]＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得f(x)＝的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1)．若f(m)>1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．
答案：0 (－∞，0)∪(e，＋∞)
B级·素养提升|练能力|
13.(2019届江西南昌一模)设函数f(x)＝若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为( )
A．[－1，2) B．[－1，0]
C．[1，2] D．[1，＋∞)
解析：选C 若x>1，可得f(x)＝x＋1>2，因为f(1)是f(x)的最小值，由f(x)＝2|x－a|，可得当x>a时递增，当x<a时递减，若a<1，x≤1，则f(x)在x＝a处取最小值，不符合题意；若a≥1，x≤1，则f(x)在x＝1处取最小值，且2a－1≤2，解得1≤a≤2.综上，可得a的取值范围是[1，2]．
14．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①y＝x－；②y＝ln；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①
解析：选B 对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f(x)＝ln，则
f＝ln≠－f(x)，不满足题意；对于③，f＝
则f＝－f(x)，满足题意．所以满足“倒负”变换的函数是①③.
15．已知函数f(x)满足f＝log2，则f(x)的解析式是____________．
解析：根据题意知x＞0，所以f＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.
答案：f(x)＝－log2x
16．设函数f(x)＝则满足f[f(a)]＝2f(a)的a的取值范围为________．
解析：由f[f(a)]＝2f(a)得，f(a)≥1.
当a<1时，有3a－1≥1，
所以a≥，所以≤a<1.
当a≥1时，有2a≥1，
所以a≥0，所以a≥1.
综上，a≥.
答案：
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