2022届高考数学总复习教学案直线与圆圆与圆的位置关系.docx

直线与圆、圆与圆的位置关系知识能否忆起一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点000几何观点drdrdr二、圆与圆的位置关系(O1、O2半径r1、r2，d|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量化dr1r2dr1r2|r1r2|d r1r2d|r1r2|d|r1r2|小题能否全取1(教材习题改编)圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C相交过圆心D相离解析：选B由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离d，0d，故该直线与圆相交但不过圆心2(2022银川质检)由直线yx1上的一点向圆x2y26x80引切线，那么切线长的最小值为()A.B2C3D.解析：选A由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小圆x2y26x80可化为(x3)2y21，那么圆心(3,0)到直线yx1的距离为2，切线长的最小值为.3直线xy10与圆x2y2r2相交于A，B两点，且AB的长为2，那么圆的半径为()A.B.C1D2解析：选B圆心(0,0)到直线xy10的距离d.那么r22d2，r.4(教材习题改编)假设圆x2y21与直线ykx2没有公共点，那么实数k的取值范围是_解析：由题意知1，解得k.答案：(， )5两圆C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，那么两圆公共弦所在的直线方程是_解析：两圆相减即得x2y40.答案：x2y401.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为1列方程来简化运算2对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况直线与圆的位置关系的判断典题导入例1(2022陕西高考)圆C：x2y24x0，l是过点P(3,0)的直线，那么()Al与C相交Bl与C相切Cl与C相离D以上三个选项均有可能自主解答将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32024391230，y00，那么切线方程为x0xy0y1.分别令x0，y0得A，B，那么|AB|2.当且仅当x0y0时，等号成立5(2022兰州模拟)假设圆x2y2r2(r0)上仅有4个点到直线xy20的距离为1，那么实数r的取值范围为()A(1，) B(1, 1)C(0, 1) D(0, 1)解析：选A计算得圆心到直线l的距离为 1，如图直线l：xy20与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离1.6(2022临沂模拟)点P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，假设四边形PACB的最小面积是2，那么k的值为()A.B.C2D2解析：选D圆心C(0,1)到l的距离d，所以四边形面积的最小值为22，解得k24，即k2.又k0，即k2.7(2022朝阳高三期末)设直线xmy10与圆(x1)2(y2)24相交于A、B两点，且弦AB的长为2，那么实数m的值是_解析：由题意得，圆心(1,2)到直线xmy10的距离d1，即1，解得m.答案：8(2022东北三校联考)假设a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，那么圆C：x2y24被直线l：axbyc0所截得的弦长为_解析：由题意可知圆C：x2y24被直线l：axbyc0所截得的弦长为2，由于a2b2c2，所以所求弦长为2.答案：29(2022江西高考)过直线xy20上点P作圆x2y21的两条切线，假设两条切线的夹角是60，那么点P的坐标是_解析：点P在直线xy20上，可设点P(x0，x02)，且其中一个切点为M.两条切线的夹角为60，OPM30.故在RtOPM中，有OP2OM2.由两点间的距离公式得OP2，解得x0.故点P的坐标是( ，)答案：( ， )10(2022福州调研)M：x2(y2)21，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点(1)假设|AB|，求|MQ|及直线MQ的方程；(2)求证：直线AB恒过定点解：(1)设直线MQ交AB于点P，那么|AP|，又|AM|1，APMQ，AMAQ，得|MP|，又|MQ|，|MQ|3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由3，得x，那么Q点的坐标为(，0)或(，0)从而直线MQ的方程为2xy20或2xy20.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(xq)y(y2)0，而线段AB是此圆与圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx2y30，所以直线AB恒过定点.11以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点(1)求证：AOB的面积为定值；(2)设直线2xy40与圆C交于点M、N，假设|OM|ON|，求圆C的方程解：(1)证明：由题设知，圆C的方程为(xt)22t2，化简得x22txy2y0，当y0时，x0或2t，那么A(2t,0)；当x0时，y0或，那么B，所以SAOB|OA|OB|2t|4为定值(2)|OM|ON|，那么原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，那么CHMN，C、H、O三点共线，那么直线OC的斜率k，t2或t2.圆心为C(2,1)或C(2，1)，圆C的方程为(x2)2(y1)25或(x2)2(y1)25，由于当圆方程为(x2)2(y1)25时，直线2xy40到圆心的距离dr，此时不满足直线与圆相交，故舍去，圆C的方程为(x2)2(y1)25.12在平面直角坐标系xOy中，圆x2y212x320的圆心为Q，过点P(0,2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量与共线如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由解：(1)圆的方程可写成(x6)2y24，所以圆心为Q(6,0)过P(0,2)且斜率为k的直线方程为ykx2，代入圆的方程得x2(kx2)212x320，整理得(1k2)x24(k3)x360.直线与圆交于两个不同的点A、B等价于4(k3)2436(1k2)42(8k26k)0，解得k0，即k的取值范围为.(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)那么(x1x2，y1y2)，由方程得x1x2.又y1y2k(x1x2)4.因P(0,2)、Q(6,0)，(6，2)，所以与共线等价于2(x1x2)6(y1y2)，将代入上式，解得k.而由(1)知k，故没有符合题意的常数k.1两圆x2y210x10y0，x2y26x2y400，那么它们的公共弦所在直线的方程为_；公共弦长为_解析：由两圆的方程x2y210x10y0，x2y26x2y400，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2xy50.圆心(5,5)到直线2xy50的距离为2，弦长的一半为，得公共弦长为2.答案：2xy5022(2022上海模拟)圆的方程为x2y26x8y0，a1，a2，a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，假设数列a1，a2，a11成等差数列，那么该等差数列公差的最大值是_解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为4，故公差最大为.答案：3.(2022江西六校联考)抛物线C：y22px(p0)的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线n，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|BO|2.(1)求圆M和抛物线C的方程；(2)假设P为抛物线C上的动点，求,的最小值；(3)过直线l上的动点Q向圆M作切线，切点分别为S、T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标解：(1)易得B(1，)，A(1，)，设圆M的方程为(xa)2y2a2(a0)，将点B(1，)代入圆M的方程得a2，所以圆M的方程为(x2)2y24，因为点A(1，)在准线l上，所以1，p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)得，M(2,0)，F(1,0)，设点P(x，y)，那么,(2x，y)，,(1x，y)，又点P在抛物线y24x上，所以,(2x)(1x)y2x23x24xx2x2，因为x0，所以,2，即,的最小值为2.(3)证明：设点Q(1，m)，那么|QS|QT|，以Q为圆心，为半径的圆的方程为(x1)2(ym)2m25，即x2y22x2my40，又圆M的方程为(x2)2y24，即x2y24x0，由两式相减即得直线ST的方程3xmy20，显然直线ST恒过定点.1两个圆：C1：x2y22x2y20与C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有()A1条B2条C3条D4条解析：选B由题知C1：(x1)2(y1)24，那么圆心C1(1，1)，C2：(x2)2(y1)24，圆心C2(2,1)，两圆半径均为2，又|C1C2|4，那么两圆相交只有两条外公切线2(2022江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，假设直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，那么k的最大值是_解析：设圆心C(4,0)到直线ykx2的距离为d，那么d，由题意知，问题转化为d2，即d2，得0k，所以kmax.答案：3过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，那么直线l的斜率为_解析：将圆的方程化成标准方程为(x1)2(y1)21，其圆心为(1,1)，半径r1.由弦长为得弦心距为.设直线方程为y2k(x1)，即kxyk20，那么，化简得7k224k170，得k1或k.答案：1或4圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心为O2(2,1)(1)假设圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；(2)假设圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|2，求圆O2的方程解：(1)设圆O2的半径为r2，两圆外切，|O1O2|r1r2，r2|O1O2|r12(1)，故圆O2的方程是(x2)2(y1)24(1)2.(2)设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r，又圆O1的方程为x2(y1)24，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x4yr80.因为圆心O1(0，1)到直线AB的距离为，解得r4或r20.故圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.