2022届高考数学总复习教学案同角三角函数的基本关系与诱导公式.docx

第二节同角三角函数的根本关系与诱导公式
[知识能否忆起]
1．同角三角函数的根本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tanα＝.
2．六组诱导公式
　角
函数　
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α

对于角“±α〞(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限〞，“奇变偶不变〞是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变〞．“符号看象限〞是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号〞．
[小题能否全取]
1．sin585°的值为(　　)
A．－B.
C．－D.
解析：选Asin585°＝sin(360°＋225°)
＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°
＝－.
2．(教材习题改编)sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，那么θ等于(　　)
A．－B．－
C.D.
解析：选D∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝.
∵|θ|<，∴θ＝.
3．tanθ＝2，那么＝(　　)
A．2B．－2
C．0D.
解析：选B原式＝＝＝＝－2.
4．(教材习题改编)如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________．
解析：∵sin(π＋A)＝，∴－sinA＝.
∴cos＝－sinA＝.
答案：
5．α是第二象限角，tanα＝－，那么cosα＝________.
解析：由题意知cosα<0，又sin2α＋cos2α＝1，
tanα＝＝－.∴cosα＝－.
答案：－
应用诱导公式时应注意的问题
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号确实定．
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，假设开方，要特别注意判断符号．
(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．

同角三角函数的根本关系式
典题导入
[例1](1)(2022·江西高考)假设tanθ＋＝4，那么sin2θ＝(　　)
A.B.
C.D.
(2)sin(3π＋α)＝2sin，那么＝________.
[自主解答](1)∵tanθ＋＝4，
∴＋＝4，
∴＝4，即＝4，
∴sin2θ＝.
(2)法一：由sin(3π＋α)＝2sin得tanα＝2.
原式＝＝＝－.
法二：由得sinα＝2cosα.
原式＝＝－.
[答案](1)D　(2)－
在(2)的条件下，sin2α＋sin2α＝________.
解析：原式＝sin2α＋2sinαcosα＝＝＝.
答案：
由题悟法
1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．
2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二(参阅本节题型技法点拨)．
3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
以题试法
1．(1)(2022·长沙模拟)假设角α的终边落在第三象限，那么＋的值为(　　)
A．3B．－3
C．1D．－1
(2)sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，那么cosα＝________.
解析：(1)由角α的终边落在第三象限得sinα<0，cosα<0，
故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，
∴sin2α＝4sin2β，①
tan2α＝9tan2β，②
由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③
①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，
∵cos2α＋sin2α＝1，
∴cos2α＝，即cos α＝±.
答案：(1)B　(2)±

三角函数的诱导公式
典题导入
[例2](1)＝________.
(2)A＝＋(k∈Z)，那么A的值构成的集合是(　　)
A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}
C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}
[自主解答](1)原式
＝
＝＝
＝－＝－·＝－1.
(2)当k为偶数时，A＝＋＝2；
k为奇数时，A＝－＝－2.
[答案](1)－1　(2)C
由题悟法
利用诱导公式化简求值时的原那么
(1)“负化正〞，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
(2)“大化小〞，利用k·360°＋α(k∈Z)的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数．
(3)“小化锐〞，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
(4)“锐求值〞，得到0°到90°的三角函数后，假设是特殊角直接求得，假设是非特殊角可由计算器求得．
以题试法
2．(1)(2022·滨州模拟)sin600°＋tan240°的值等于(　　)
A．－B.
C.－D.＋
(2)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α，β，a，b均为非零实数，假设f(2022)＝－1，那么f(2022)等于________．
解析：(1)sin600°＋tan240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin120°＋tan60°＝－＋＝.
(2)由诱导公式知f(2022)＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2022)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.
答案：(1)B　(2)1

诱导公式在三角形中的应用
典题导入
[例3]在△ABC中，假设sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos (π－B)，求△ABC的三个内角．
[自主解答]由得sinA＝sinB，cosA＝cosB两式平方相加得2cos2A＝1，
即cosA＝或cosA＝－.
(1)当cosA＝时，cosB＝，又角A、B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝.
(2)当cosA＝－时，cosB＝－，
又角A、B是三角形的内角，∴A＝，B＝，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝.
由题悟法
1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A＋B＝π－C,2A＋2B＝2π－2C，＋＋＝等，于是可得sin(A＋B)＝sinC，cos＝sin等；
2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小．
以题试法
3．在三角形ABC中，
(1)求证：cos2＋cos2＝1；
(2)假设cossintan (C－π)<0，求证：三角形ABC为钝角三角形．
证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，那么＝－，
所以cos＝cos＝sin，
故cos2＋cos2＝1.
(2)假设cossintan (C－π)<0，
那么(－sin A)(－cos B)tan C<0，
即sin Acos Btan C<0，
∵在△ABC中，0<A<π，0<B<π，0<C<π，
∴sinA>0，或
∴B为钝角或C为钝角，故△ABC为钝角三角形．
1．sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，那么以下不等关系中必定成立的是(　　)
A．sinθ<0，cosθ>0B．sinθ>0，cosθ<0
C．sinθ>0，cosθ>0D．sinθ<0，cosθ<0
解析：选Bsin(θ＋π)<0，∴－sinθ<0，sinθ>0.
∵cos(θ－π)>0，∴－cosθ>0.∴cosθ<0.
2．(2022·安徽名校模拟)tanx＝2，那么sin2x＋1＝(　　)
A．0B.
C.D.
解析：选Bsin2x＋1＝＝＝.
3．(2022·江西高考)假设＝，那么tan2α＝(　　)
A．－B.
C．－D.
解析：选B∵＝＝，∴tanα＝－3.
∴tan2α＝＝.
4．(2022·淄博模拟)sin2α＝－，α∈，那么sinα＋cosα＝(　　)
A．－B.
C．－D.
解析：选B　(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，
又α∈，sinα＋cosα>0，
所以sinα＋cosα＝.
5．cos＝，且|φ|<，那么tanφ＝(　　)
A．－B.
C．－D.
解析：选Dcos＝sinφ＝，
又|φ|<，那么cosφ＝，所以tanφ＝.
6．2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，那么sinα＝(　　)
A.B．－
C.D．－
解析：选B由2tanα·sinα＝3得，＝3，
即2cos2α＋3cosα－2＝0，又－＜α＜0，
解得cosα＝(cosα＝－2舍去)，
故sinα＝－.
7．cos－sin的值是________．
解析：原式＝cos＋sin＝cos＋sin＝.
答案：
8．假设＝2，那么sin(θ－5π)sin＝________.
解析：由＝2，得sinθ＋cosθ＝2(sinθ－cosθ)，两边平方得：1＋2sinθcosθ＝4(1－2sinθcosθ)，
故sinθcosθ＝，
∴sin(θ－5π)sin＝sinθcosθ＝.
答案：
9．(2022·中山模拟)cos＝，那么sin＝________.
解析：sin＝sin
＝－sin＝－cos＝－.
答案：－
10．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°.
解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°
＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1＝2.
11．cos(π＋α)＝－，且α是第四象限角，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)(n∈Z)．
解：∵cos(π＋α)＝－，∴－cosα＝－，cosα＝.
又∵α是第四象限角，
∴sinα＝－＝－.
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)
＝－sinα＝；
(2)
＝
＝
＝
＝
＝－＝－4.
12．(2022·信阳模拟)角α的终边经过点P.
(1)求sinα的值；
(2)求·的值．
解：(1)∵|OP|＝1，
∴点P在单位圆上．
由正弦函数的定义得sinα＝－.
(2)原式＝·
＝＝，
由余弦函数的定义得cosα＝.故所求式子的值为.
1．＝－，那么的值是(　　)
A.B．－
C．2D．－2
解析：选A由于·＝＝－1，故＝.
2．假设角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝，那么a的值为(　　)
A．4B．±4
C．－4或－D.
解析：选C依题意可知角α的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝易得tanα＝或，那么a＝－4或－.
3．A、B、C是三角形的内角，sinA，－cosA是方程x2－x＋2a＝0的两根．
(1)求角A；
(2)假设＝－3，求tanB.
解：(1)由可得，sinA－cosA＝1.①
又sin2A＋cos2A＝1，
所以sin2A＋(sinA－1)2＝1，
即4sin2A－2sinA＝0，
得sinA＝0(舍去)或sinA＝，
那么A＝或，
将A＝或代入①知A＝时不成立，
故A＝.
(2)由＝－3，
得sin2B－sinBcosB－2cos2B＝0，
∵cosB≠0，∴tan2B－tanB－2＝0，
∴tanB＝2或tanB＝－1.
∵tanB＝－1使cos2B－sin2B＝0，舍去，
故tanB＝2.
1．sin＝m，那么cos等于(　　)
A．mB．－m
C.D．－
解析：选A∵sin＝m，
∴cos＝sin＝m.
2．求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθ＝＋.
证明：左边＝sinθ＋cosθ
＝sinθ＋＋cosθ＋
＝＋
＝＋
＝＋＝右边．
3．sin(π－α)－cos(π＋α)＝.求以下各式的值：
(1)sin α－cos α；
(2)sin3＋cos3.
解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin α＋cos α＝，①
将①两边平方，得1＋2sin α·cos α＝，故2sin α·cos α＝－.
又<α<π，∴sin α>0，cos α<0.
(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－＝，∴sin α－cos α＝.
(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α＝(cos α－sin α)(cos2α＋cos α·sin α＋sin2α)＝－×＝－.