2022版高考数学一轮复习-课时规范练18-同角三角函数的基本关系及诱导公式新人教A版.docx

2022版高考数学一轮复习 课时规范练18 同角三角函数的基本关系及诱导公式新人教A版

2022版高考数学一轮复习 课时规范练18 同角三角函数的基本关系及诱导公式新人教A版

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课时规范练18　同角三角函数的基本关系及诱导公式
基础巩固组
1.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是(　　)
A.sin θ<0,cos θ>0 B.sin θ>0,cos θ<0
C.sin θ>0,cos θ>0 D.sin θ<0,cos θ<0
2.(多选)(2020北京平谷二模,2改编)若角α的终边在第三象限,则下列三角函数值中大于零的是(　　)
A.sinα-3π2 B.cosα+π2
C.sin(π+α) D.cos(π+α)
3.若tan α=cos α,则1sinα+cos4α的值为(　　)
A.2 B.2
C.22 D.4
4.(2020辽宁沈阳一中测试)已知2sin α-cos α=0,则sin2α-2sin αcos α的值为(　　)
A.-35 B.-125
C.35 D.125
5.(2020浙江杭州学军中学模拟)已知cos 31°=a,则sin 239°·tan 149°的值为(　　)
A.1-a2a B.1-a2
C.a2-1a D.-1-a2
6.(多选)(2020河南开封三模,理9改编)已知A是△ABC的一个内角,且sin A+cos A=a,其中a∈(0,1),则tan A的值可能是(　　)
A.-2 B.-12
C.-32 D.-3
7.已知cos5π12+α=13,且-π<α<-π2,则cosπ12-α等于(　　)
A.223 B.-13
C.13 D.-223
8.(2020山东济宁三模,13)已知tan(π-α)=2,则sinα+cosαsinα-cosα=　　　　. 
9.已知k∈Z,则sin(kπ-α)cos[(k-1)π-α]sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α)的值为　　　　. 
综合提升组
10.已知角α和β的终边关于直线y=x对称,且β=-π3,则sin α等于(　　)
A.-32 B.32 C.-12 D.12
11.已知cosπ6-θ=a(|a|≤1),则cos5π6+θ+sin2π3-θ的值是　　　　. 
12.已知f(α)=2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α)1+sin2α+cos(3π2+α)-sin2(π2+α)(sin α≠0,且1+2sin α≠0),则f-23π6=　　　　. 
创新应用组
13.某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域,其中在边长为20米的正方形EFGH内种植红色郁金香,正方形ABCD的剩余部分(即四个直角三角形内)种植黄色郁金香.现要在以AB为边长的矩形ABMN内种植绿色草坪,要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积,设∠GFB=θ,AN=y米.

(1)求y与θ之间的函数关系;
(2)求AN的最大值.

参考答案

课时规范练18　同角三角函数的
基本关系及诱导公式
1.B　∵sin(θ+π)<0,∴-sinθ<0,sinθ>0.∵cos(θ-π)>0,∴-cosθ>0,cosθ<0.故选B.
2.BCD　角α的终边在第三象限,sinα-3π2=cosα<0,A不正确;cosα+π2=-sinα>0,B正确;sin(π+α)=-sinα>0,C正确;cos(π+α)=-cosα>0,D正确,故选BCD.
3.B　由题知,tanα=cosα,则sinαcosα=cosα,故sinα=cos2α,故1sinα+cos4α=sin2α+cos2αsinα+sin2α=sinα+cos2αsinα+1-cos2α=sinα+sinαsinα+1-sinα=2.
4.A　2sinα-cosα=0,∴tanα=12,∴sin2α-2sinαcosα=sin2α-2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α-2tanα1+tan2α=14-11+14=-35.
5.B　sin239°·tan149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=-cos31°·(-tan31°)=sin31°=1-a2.
6.ACD　因为0<A<π,且sinA+cosA=a∈(0,1),所以|sinA|>|cosA|,且cosA<0,则可知tanA<-1,故选ACD.
7.D　∵cos5π12+α=sinπ12-α=13,又-π<α<-π2,∴7π12<π12-α<13π12,∴cosπ12-α=-1-sin2(π12-α)=-223.
8.13　由tan(π-α)=2,得tanα=-2,则sinα+cosαsinα-cosα=tanα+1tanα-1=-2+1-2-1=13.
9.-1　当k=2n(n∈Z)时,
原式=sin(2nπ-α)cos[(2n-1)π-α]sin[(2n+1)π+α]cos(2nπ+α)
=sin(-α)cos(-π-α)sin(π+α)cosα
=-sinα(-cosα)-sinαcosα=-1.
当k=2n+1(n∈Z)时,
原式=sin[(2n+1)π-α]cos[(2n+1-1)π-α]sin[(2n+1+1)π+α]cos[(2n+1)π+α]
=sin(π-α)cosαsinαcos(π+α)
=sinαcosαsinα(-cosα)=-1.
综上,原式=-1.
10.D　终边在直线y=x上的角为kπ+π4(k∈Z),因为角α和β的终边关于直线y=x对称,所以α+β=2kπ+π2(k∈Z).又β=-π3,所以α=2kπ+5π6(k∈Z),即得sinα=12.
11.0　由题知,cos5π6+θ=cosπ-π6-θ=-cosπ6-θ=-a.
sin2π3-θ=sinπ2+π6-θ
=cosπ6-θ=a,
故cos5π6+θ+sin2π3-θ=0.
12.3　∵f(α)=(-2sinα)(-cosα)+cosα1+sin2α+sinα-cos2α
=2sinαcosα+cosα2sin2α+sinα
=cosα(1+2sinα)sinα(1+2sinα)
=1tanα,
∴f-23π6=1tan(-23π6)
=1tan(-4π+π6)=1tanπ6=3.
13.解(1)在Rt△GFB中,∠GFB=θ,则FB=20cosθ,同理在Rt△FEA中,∠FEA=θ,则FA=20sinθ,所以AB=20(sinθ+cosθ).
因为在矩形ABMN内种植与黄色郁金香面积相等的草坪,设矩形ABMN的面积为S,则S=AB·AN=4S△GFB,
所以AN=4S△GFBAB=40sinθcosθsinθ+cosθ,所以y=40sinθcosθsinθ+cosθ,θ∈0,π2.
(2)令sinθ+cosθ=t,则t=2sinθ+π4,因为θ∈0,π2,所以t∈(1,2],
所以AN=20(t2-1)t=20t-1t,
因为AN在区间(1,2]上单调递增,
所以ANmax=202-12=102(米),故AN的最大值为102米.