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2022届高考数学统考一轮复习 微专题含exlnx与x的组合函数的解题策略学案新人教版

2022届高考数学统考一轮复习 微专题含exlnx与x的组合函数的解题策略学案新人教版

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微专题(十一)　含ex，ln x与x的组合函数的解题策略
近几年高考压轴题常以x与ex，ln x组合的函数为基础来命制，将基本初等函数的概念，图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)．预计今后高考试题除了延续往年的命题形式，还会更着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类整合和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．
策略一　分离参数，设而不求
[例1]　已知函数f(x)＝ln x，h(x)＝ax(a∈R)．
(1)若函数f(x)的图象与h(x)的图象无公共点，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数m，使得对任意的x∈，都有y＝f(x)＋的图象在g(x)＝的图象下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)函数f(x)的图象与h(x)的图象无公共点，等价于方程＝a在(0，＋∞)上无解，
令t(x)＝，则t′(x)＝，令t′(x)＝0，得x＝e.
随着x的变化，t′(x)，t(x)的变化如下表所示．

x
(0，e)
e
(e，＋∞)
t′(x)
＋
0
－
t(x)
单调递增
极大值
单调递减
因为x＝e是函数t(x)唯一的极值点，所以t(x)max＝t(e)＝，故要使方程＝a在(0，＋∞)上无解，需满足a>，故实数a的取值范围为.
(2)假设存在实数m满足题意，则不等式ln x＋<对任意的x∈恒成立，
即m<ex－xln x对任意的x∈恒成立．
令v(x)＝ex－xln x，则v′(x)＝ex－ln x－1，
令φ(x)＝ex－ln x－1，则φ′(x)＝ex－.
易知φ′(x)在上单调递增，φ′＝－2<0，φ′(1)＝e－1>0且φ′(x)的图象在上连续，
所以存在唯一的x0∈，使得φ′(x0)＝0，即－＝0，则x0＝－ln x0.
当x∈时，φ(x)单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，φ(x)单调递增．
则φ(x)在x＝x0处取得最小值，且最小值为φ(x0)＝－ln x0－1＝＋x0－1>2－1＝1>0，
所以v′(x)>0，即v(x)在上单调递增，
所以m≤－ln＝＋ln 2≈1.995 29，
故存在整数m满足题意，且m的最大值为1.
名师点评　本题分离参数后导数零点不可求，且不能通过观察得到，此时往往可以采用设而不求的方法．在第(2)小问中，通过虚设零点x0得到x0＝－ln x0，将－ln x0－1转化为普通代数式＋x0－1，然后使用基本不等式求出最值，同时消掉x0，即借助φ′(x0)＝0作整体代换，采取设而不求的方法，达到化简并求解的目的．
变式练1　证明ex－ln x>2.

策略二　分离ln x与ex
[例2]　已知函数f(x)＝ax2－xln x.
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a＝e，证明：当x>0时，f(x)<xex＋.
解析：(1)由题意知，f′(x)＝2ax－ln x－1.
因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，f′(x)≥0，即2a≥恒成立．
令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝－，
易知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(1)＝1，
所以2a≥1，即a≥.
故实数a的取值范围是.
(2)证明：若a＝e，要证f(x)<xex＋，
只需证ex－ln x<ex＋，即ex－ex<ln x＋.
令h(x)＝ln x＋(x>0)，则h′(x)＝，
易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则h(x)min＝h＝0，
所以ln x＋≥0.
再令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex，
易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0.
因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以ex－ex<ln x＋，故原不等式成立．
名师点评　
1．若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．
2．本题第(2)小题中变形后再隔离分析构造函数，便于探求构造的函数h(x)＝ln x＋和φ(x)＝ex－ex的单调性．若直接构造函数，则很难借助导数研究其单调性．
变式练2　设函数f(x)＝，曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线e2x－y＋e＝0垂直．
(1)若f(x)在(m，m＋1)上存在极值，求实数m的取值范围；
(2)求证：当x>1时，不等式>.

策略三　借助ex≥x＋1和ln x≤x－1进行放缩
[例3]　已知函数f(x)＝ex－a.
(1)若函数f(x)的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值；
(2)若f(x)－ln x>0恒成立，求整数a的最大值．
解析：(1)f′(x)＝ex，因为函数f(x)的图象与直线y＝x－1相切，
所以令f′(x)＝1，即ex＝1，得x＝0，即f(0)＝－1，
解得a＝2.
(2)现证明ex≥x＋1，设F(x)＝ex－x－1，
则F′(x)＝ex－1，令F′(x)＝0，则x＝0，
当x∈(0，＋∞)时，F′(x)>0，当x∈(－∞，0)时，F′(x)<0，
所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以F(x)min＝F(0)＝0，即F(x)≥0恒成立，即ex≥x＋1，即ex－2≥x－1，
同理可得ln x≤x－1，
所以ex－2>ln x，
当a≤2时，ln x<ex－2≤ex－a，
即当a≤2时，f(x)－ln x>0恒成立．
当a≥3时，存在x，使ex－a<ln x，即ex－a>ln x不恒成立．
综上，整数a的最大值为2.
名师点评　利用ex≥x＋1，ln x≤x－1可将超越函数转化为一次函数，有效地降低了试题的难度．
变式练3　已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln(x＋a)＋b.
(1)若函数f(x)与g(x)的图象在点(0,1)处有相同的切线，求a，b的值；
(2)当b＝0时，f(x)－g(x)>0恒成立，求整数a的最大值．

微专题(十一)
变式练1
证明：设f(x)＝ex－ln x(x>0)，则f′(x)＝ex－，
∴令h(x)＝f′(x)，∴h′(x)＝ex＋>0，
∴f′(x)在(0，＋∞)上是增函数，
又f′＝－2<0，f′(1)＝e－1>0，
∴函数f(x)在上存在极小值点x0且＝，即x0＝－ln.
∴f(x0)＝＋>2，
故f(x)>2，即ex－ln x>2.
变式练2
解析：(1)∵f′(x)＝，
∴曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线斜率为－.
又切线与直线e2x－y＋e＝0垂直，
可得f′(e)＝－，所以－＝－，
∴a＝1，所以f(x)＝，
∴f′(x)＝(x>0)，
当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；
当x>1时，f′(x)<0，f(x)为减函数．
所以x＝1是函数f(x)的极大值点．
又f(x)在(m，m＋1)上存在极值，
所以m<1<m＋1，即0<m<1.
综上所述，实数m的取值范围是(0,1)．
(2)不等式>变形为·>分别构造函数g(x)＝和h(x)＝，
则g′(x)＝，令φ(x)＝x－ln x，
则φ′(x)＝1－＝.
因为x>1，所以φ′(x)>0，所以φ(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以φ(x)>φ(1)＝1>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以x>1时，g(x)>g(1)＝2，故>，h′(x)＝，∵x>1，∴1－ex<0.∴h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴x>1时，h(x)<h(1)＝.
综上所述，>h(x)，即>.
变式练3
解析：(1)因为函数f(x)和g(x)的图象在点(0,1)处有相同的切线，
所以f(0)＝g(0)且f′(0)＝g′(0)，
解得a＝1，b＝1.
(2)现证明ex≥x＋1，设F(x)＝ex－x－1，
则F′(x)＝ex－1，
当x∈(0，＋∞)时，F′(x)>0，当x∈(－∞，0)时，F′(x)<0，
所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，
所以F(x)min＝F(0)＝0，即F(x)≥0恒成立，
即ex≥x＋1.
同理可得ln(x＋2)≤x＋1，
即ex>ln(x＋2)，
当a≤2时，ln(x＋a)≤ln(x＋2)<ex，
所以当a≤2时，f(x)－g(x)>0恒成立，
当a≥3时，e0<ln a，即ex－ln(x＋a)>0不恒成立．
故整数a的最大值为2.