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2022届高考数学一轮复习 第三章 3.2 导数在研究函数中的应用学案

2022届高考数学一轮复习 第三章 3.2 导数在研究函数中的应用学案

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第二节　导数在研究函数中的应用

【知识重温】
一、必记3个知识点
1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导：
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内①____________.
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内②____________.
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内③____________.
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值④________，而且在x＝a附近的左侧⑤________，右侧⑥________，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值⑦__________，左侧⑧________；右侧⑨________，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
3．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
(ⅰ)求函数y＝f(x)在(a，b)内的⑪________.
(ⅱ)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
二、必明2个易误点
1．求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数一定为0，但是导数为0的点不一定是极值点．
2．易混极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)
(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．(　　)
(4)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)
(5)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　)
(6)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　)
(7)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)

二、教材改编
2．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为(　　)
A．(0,1)　　　　　　　B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)
A．1－e B．－1
C．－e D．0

三、易错易混
4．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．
5．已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________．

四、走进高考
6．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．

第二节　导数在研究函数中的应用
【知识重温】
①单调递增　②单调递减　③不具备单调性　④都小　⑤f′(x)＜0　⑥f′(x)＞0　⑦都大　⑧f′(x)＞0　⑨f′(x)＜0　⑩连续不断　⑪极值
【小题热身】
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
(5)×　(6)×　(7)√
2．解析：∵f(x)＝x－ln x，∴f′(x)＝1－，令f′(x)<0，即1－<0，解得0<x<1，故函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间是(0,1)．
答案：A
3．解析：∵f(x)＝ln x－x，∴f′(x)＝－1，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e]时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,1)上递增，在(1，e]上递减，故当x＝1时f(x)取得极大值，也为最大值f(1)＝－1.
答案：B
4．解析：f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.
答案：－4
5．解析：f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此解得<a<4，故实数a的取值范围为.
答案：
6．解析：∵f(x)＝2sin x＋sin 2x，∴f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cos2x＋2cos x－2＝4(cos x＋1)．由f′(x)≥0得≤cos x≤1，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，由f′(x)≤0得－1≤cos x≤，即2kπ＋π≥x≥2kπ＋或2kπ－π≤x≤2kπ－，k∈Z，所以当x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝f＝2sin＋sin 2＝－.
答案：－