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2022届高考数学一轮复习 第九章 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业

2022届高考数学一轮复习 第九章 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业

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姓名：

课时作业50　直线与圆、圆与圆的位置关系
[基础达标]
一、选择题
1．[2021·广州市普通高中毕业班综合测试]若直线kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共点，则实数k的取值范围是(　　)
A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3]
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
2．[2021·菏泽模拟]已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为(　　)
A．1:2B．1:3
C．1:4D．1:5
3．[2021·山西太原模拟]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A．21B．19
C．9D．－11
4．[2021·河北九校联考]圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0
5．[2021·山东济宁检测]已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝9，过点M(1,1)的直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，直线l的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0B．x＋2y－8＝0
C．2x－y＋1＝0D．x＋2y－3＝0
二、填空题
6．[2021·广东省七校联合体高三联考试题]设直线l：3x＋4y＋10＝0，与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25交于A，B两点，则|AB|为________．
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
8．[2019·浙江卷]已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
三、解答题
9．[2021·山东夏津一中月考]已知圆C的圆心在直线x＋y＋1＝0上，半径为5，且圆C经过点P(－2,0)和点Q(5,1)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点A(－3,0)且与圆C相切的切线方程．

10．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．

[能力挑战]
11．[2020·全国卷Ⅲ]若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　)
A．y＝2x＋1B．y＝2x＋
C．y＝x＋1D．y＝x＋
12．[2020·全国卷Ⅰ]已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0D．2x＋y＋1＝0
13．[2021·武昌区高三年级调研考试]过动点M作圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1的切线，N为切点．若|MN|＝|MO|(O为坐标原点)，则|MN|的最小值为________．

课时作业50
1．解析：通解　由
消去y并化简得(1＋k2)x2＋(2－2k)x－2＝0，判别式Δ＝(2－2k)2＋8(1＋k2)＞0，所以直线与圆必有公共点，所以k的取值范围是(－∞，＋∞)．故选D.
优解　直线kx－y＋1＝0过定点(0,1)，由于02＋12＋2×0－4×1＋1＝－2＜0，所以点(0,1)在圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0内，所以直线与圆必有公共点，所以k的取值范围是(－∞，＋∞)．故选D.
答案：D
2．解析：(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d＝＝，所以较短弧所对的圆心角为，较长弧所对的圆心角为，故两弧长之比为1:2.选A.
答案：A
3．解析：圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m<25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.
答案：C
4．解析：由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.
答案：C
5．解析：根据题意，圆C的圆心C(2,3)，半径r＝3.当CM与AB垂直时，即M为AB的中点时，弦长AB最短，此时CM的斜率kCM＝＝2，则AB的斜率kAB＝－，所以直线AB的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0，故选D.
答案：D
6．解析：因为C：(x－2)2＋(y－1)2＝25，圆心为(2,1)，半径r＝5，所以圆心到直线l的距离d＝＝4，|AB|＝2＝6.
答案：6
7．解析：方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4.
两式相减得：2ay＝2，则y＝.
由已知条件＝，即a＝1.
答案：1
8．解析：解法一　设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝＝.
解法二　因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.
答案：－2　
9．解析：(1)设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝25，点C在直线x＋y＋1＝0上，则有a＋b＋1＝0.圆C经过点P(－2,0)和点Q(5,1)，则
解得所以圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
(2)设所求直线为l.①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程是x＝－3，与圆C相切，符合题意．
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0.
由题意知，圆心C(2，－3)到直线l的距离等于半径5，即＝5，解得k＝，故切线方程是y＝(x＋3)．综上，所求切线方程是x＝－3或y＝(x＋3)．
10．解析：(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.
设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.
又|O1O2|＝＝2，
所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0.
设线段AB的中点为H，
因为r1＝2，所以|O1H|＝＝.
又|O1H|＝＝，
所以＝，解得r＝4或r＝20.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
11．解析：解法一(直接计算法)　由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l为y＝kx＋m，直线l与曲线y＝的切点为A(x0，y0)．由导数的几何意义可知＝k，即＝，点A既在直线l上，又在曲线y＝上，∴∴kx0＋m＝，即k·2＋m＝，化简可得m＝，又∵直线l与圆x2＋y2＝相切，∴＝，将m＝代入化简得16k4＋16k2－5＝0，解得k2＝或k2＝－(舍去)．∵y＝的图象在第一象限，∴k>0，∴k＝，∴m＝，∴l的方程为y＝x＋.故选D.
解法二(选项分析法)　由选项知直线l的斜率为2或，不妨假设为2，设直线l与曲线y＝的切点为P(x0，y0)，则x0－＝2.解得x0＝，则y0＝，即P，显然点P在圆x2＋y2＝内，不符合题意，所以直线l的斜率为，又直线l与圆x2＋y2＝相切，所以只有D项符合题意，故选D.
答案：D
12．解析：如图，由题可知，AB⊥PM，

|PM|·|AB|＝2S四边形APBM＝2(S△PAM＋S△PBM)＝2(|PA|＋|PB|)，
∵|PA|＝|PB|，
∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝
4＝4，
当|PM|最小时，|PM|·|AB|最小，易知|PM|min＝＝，
此时|PA|＝1，AB∥l，设直线AB的方程为y＝－2x＋b(b≠－2)，
圆心M到直线AB的距离为d＝，
|AB|＝＝，
∴d2＋2＝|MA|2，
即＋＝4，解得b＝－1或b＝7(舍)．
综上，直线AB的方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.故选D.
答案：D
13．解析：设M(x，y)，因为|MN|＝|MO|，所以(x－2)2＋(y－2)2－1＝x2＋y2，整理得4x＋4y－7＝0，即动点M在直线4x＋4y－7＝0上，所以|MN|的最小值就是|MO|的最小值，为＝.
答案：