资源描述
9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一 直线与圆的位置关系
1.点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,那么直线ax+by=1与圆O的位置关系是 ( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
2.假设直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交,那么实数m的取值范围为( )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞)
3.圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上都有可能
4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】1.选B.因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d==<1,故直线与圆O相交.
2.选D.圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,
圆心C(1,1),半径r=1.因为直线与圆相交,所以d=<r=1.解得m>0或m<0.
3.选C.直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),因为12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,所以点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内,直线2tx-y-2-2t=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交.
4.选C.如下图,因为圆心到直线的距离为=2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交,故圆上到直线的距离为1的点有3个.
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:假设直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
【秒杀绝招】 第3题中,直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),且该点在圆内,所以直线与圆相交.
考点二 圆与圆的位置关系
【典例】1.(2023·郑州模拟)圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,假设a,b∈R且ab≠0,那么+的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.9
2.圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆M关于x轴对称,Q为圆M上的动点,当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为 ( )
A.2- B.2± C.3- D.3±
3.☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-a)2+y2=r2(a>0)相交于A、B两点,假设两圆在A点处的切线互相垂直,且|AB|=4,那么☉O1的方程为 ( )
A.(x-4)2+y2=20 B.(x-4)2+y2=50
C.(x-5)2+y2=20 D.(x-5)2+y2=50
【解题导思】
序号
联想解题
1
由两圆只有一条公切线联想到两圆相内切
2
由两圆关于x轴对称联想到圆心关于x轴对称
3
由两圆相交于A、B,且|AB|=4联想到相交弦的直线方程
【解析】1.选D.由题意可知,圆C1的圆心为(-2a,0),半径为2,圆C2的圆心为(0,b),半径为1,因为两圆只有一条公切线,所以两圆内切,所以=2-1,即4a2+b2=1.所以+=·(4a2+b2)=
5++≥5+2=9,当且仅当=,且4a2+b2=1,即a2=,b2=时等号成立,所以+的最小值为9.
2.选C.圆M的方程为:(x-3)2+(y+4)2=1,过M(3,-4)且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=-x-1,代入(x-3)2+(y+4)2=1,得x=3±,故当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为x=3-.
3.选C.依题意,得O(0,0),R=,O1(a,0),半径为r,两圆在A点处的切线互相垂直,那么由切线的性质定理知:两切线必过两圆的圆心,如图,
|OC|==1,OA⊥O1A,OO1⊥AB,
所以由直角三角形射影定理得:
|OA|2=|OC|×|OO1|,
即 5=1×|OO1|,所以|OO1|=5,
r=|AO1|==2,
由=5,
得a=5,所以,圆O1的方程为:(x-5)2+y2=20.
1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.
2.假设两圆相交,那么两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
3.两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.
4.两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.
两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交.
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
【解析】(1)圆C1的圆心为C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心为C2(5,6),半径r2=4,
两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,
所以|r1-r2|<d<r1+r2,
所以圆C1和C2相交.
(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为=3,
故公共弦长为2=2.
考点三 直线与圆的综合问题
命
题
精
解
读
考什么:(1)直线与圆的位置关系;(2)直线与圆相切、相交问题;(3)圆的性质.
怎么考:以选择题和填空题为主,主要考查求切线方程、弦长问题.
学
霸
好
方
法
1.圆的切线方程常用结论
(1)判断:圆心到直线的距离等于圆的半径;
(2)切线:圆的圆心C,半径为R. 过点P作圆C的切线.
①条数:假设点P在圆内,那么无切线;
假设点P在圆上,那么有且只有一条切线;
假设点P在圆外,那么有两条切线;
②长度:切线长等于.
2.直线与圆的位置关系的常用结论
(1)当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离),弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形.
(2)弦长公式|AB|=|xA-xB|
=.
圆的切线问题
【典例】1.圆的方程为x2+y2=1,那么在y轴上截距为的切线方程为( )
A.y=x+ B.y=-x+
C.y=x+或y=-x+ D.x=1或y=x+
2.(2023·惠州模拟)过点A(3,4)作圆C:(x-2)2+(y-3)2=2的切线l,那么切线l的方程为________________.
【解析】1.选C.在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线,故设切线方程为y=kx+,那么=1,所以k=±1,故所求切线方程为y=x+或y=-x+.
2.设切线l的方程为y=kx+b,点A(3,4)在切线l上,故4=3k+b.圆C:(x-2)2+
(y-3)2=2的圆心(2,3)到切线l的距离d==,可得=,解得k=-1,故b=7,切线l的方程为x+y-7=0.
答案:x+y-7=0
求圆的切线方程时,应注意什么问题?
提示:应注意切线斜率不存在的情况.
圆的弦长问题
【典例】1.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,假设|AB|=2,那么直线l的方程为 ( )
A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0
B.3x+4y-12=0或x=0
C.4x-3y+9=0或x=0
D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0
2.直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,那么弦AB的长为________.
【解析】1.选B.当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=0时,弦长为2,符合题意;当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为2,半径为2可知,圆心到该直线的距离为1,从而有=1,解得k=-,综上,直线l的方程为x=0或3x+4y-12=0.
2.因为圆x2+y2=4的圆心为点(0,0),半径r=2,所以圆心到直线x+y-2=0的距离d==1,所以弦长|AB|=2=2.
答案:2
圆心到弦的距离如何求?
提示:如下图,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,
圆心到直线的距离为d,那么有关系式:|AB|=2.
与弦长有关的范围问题
【典例】1.假设直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点,那么实数m的取值范围为 ( )
A.(-1,1]∪{-} B.{-,}
C.[-1,1)∪{} D.(1,]
【解析】选C.y=表示半圆,如下图:
因为直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点,
①d==1,解得m=,m=-(舍去)
②代入(-1,0)可得0=-1+m,m=1,
代入(1,0)可得0=1+m,m=-1,
结合图象,综上可得-1≤m<1或m=.
2.点P是直线x+y+2=0上的动点,过P引圆x2+y2=1的切线,那么切线长的最小值为________.
【解析】圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,要使切线长最小,那么只需要点P到圆心的距离最小.
此时最小值为圆心到直线的距离d==,此时切线长的最小值为=1.
答案:1
解决与弦长有关的参数范围问题,用什么方法最直观?
提示:数形结合的方法.
1.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,那么实数b=________.
【解析】圆的标准方程即:(x-1)2+(y-1)2=1,
由题意可得圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为1,即=1,解得:b=2或b=12.
答案:2或12
2.直线x-y-1=0与圆x2+y2=5交于A,B两点,那么|AB|=________.
【解析】根据题意,圆x2+y2=5的圆心为(0,0),半径为r=,那么圆心到直线x-y-1=0的距离为d==,那么|AB|=2=3.
答案:3
1.过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短时,直线l的斜率为 ( )
A.1 B.-1 C. D.-
【解析】选A.点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4内,要使得过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短,那么该弦以(0,1)为中点,与圆心和(0,1)的连线垂直,而圆心和(0,1)连线的斜率为=-1,所以所求直线斜率为1.
2.假设直线y=k(x+3)与圆x2+y2=4相交,那么实数k的取值范围为 ( )
A.(-2,2) B.
C. D.
【解析】选D.直线y=k(x+3)化为一般式为:kx-y+3k=0,直线y=k(x+3)与圆x2+y2=4相交等价于圆心到直线距离小于半径,
即<2,所以5k2<4,所以k∈.
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