2023版高考数学一轮复习第5章平面向量第3节平面向量的数量积及其应用课时跟踪检测文新人教A版.doc

第三节　平面向量的数量积及其应用
A级·根底过关|固根基|
1.向量a＝(1，1)，b＝(0，2)，那么以下结论正确的选项是(　　)
A．a∥b B．(2a－b)⊥b
C．|a|＝|b| D．a·b＝3
解析：选B　对于A，1×2－0×1≠0，错误；对于B，2a－b＝(2，0)，b＝(0，2)，那么2×0＋0×2＝0，所以(2a－b)⊥b，正确；对于C，|a|＝，|b|＝2，错误；对于D，a·b＝1×0＋1×2＝2，错误．
2．(2023届陕西省百校联盟模拟)向量a＝(1，m)，b＝(0，－2)，且(a＋b)⊥b，那么实数m等于(　　)
A．2 B．1
C．－1 D．－2
解析：选A　依题意得a＋b＝(1，m－2)，所以(a＋b)·b＝1×0－2(m－2)＝0，解得m＝2，应选A.
3．(2023届永州模拟)非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，那么|a|＝(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：选A　∵非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，
∴a·b＝|a|×1×＝.
∵|2a－b|＝1，
∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，
∴4|a|2－2|a|＝0，
∴|a|＝.
4．(2023届石家庄模拟)假设两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，那么向量a＋b与a的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　设|b|＝1，那么|a＋b|＝|a－b|＝2.
由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，
故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝，
设向量a＋b与a的夹角为θ，
那么cos θ＝＝＝＝，
∵0≤θ≤π，∴θ＝.
5．向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，那么|b|的取值范围为(　　)
A．[1，2] B．[2，4]
C. D.
解析：选D　由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，所以1－|b|cos θ－2|b|2＝0，所以|b|cos θ＝1－2|b|2，因为－1≤cos θ≤1，所以－|b|≤1－2|b|2≤|b|，所以≤|b|≤1，所以|b|的取值范围是.
6．假设单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，那么λ＝________．
解析：由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－.
答案：－
7．(2023届江西七校联考)向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，那么向量a与b的夹角为________．
解析：因为b在a上的投影为－3，
所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝1×3＋m，所以3＋m＝－6，解得m＝－3，那么b＝(3，－3)，所以|b|＝＝6，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.
答案：
8．(一题多解)(2023年天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，那么·＝________．
解析：解法一：∵∠BAD＝30°，AD∥BC，∴∠ABE＝30°，
又EA＝EB，∴∠EAB＝30°，
在△EAB中，AB＝2，∴EA＝EB＝2.
以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如下图的平面直角坐标系．
那么A(0，0)，D(5，0)，E(1，)，B(3，)，
∴＝(2，－)，＝(1，)，
∴·＝(2，－)·(1，)＝－1.
解法二：同解法一，求出EB＝EA＝2，
以，为一组基底，
那么＝－，＝＋＝－，
∴·＝(－)·
＝·－2＋·－2
＝·－2－2
＝×5×2×－12－×25＝－1.
答案：－1
9．向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)假设a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)假设a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝＝5.
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
故x＝－3，
所以b＝(1，－3)，
所以cos〈a，b〉＝＝＝.
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b夹角是.
10．|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角为θ；
(2)求|a＋b|；
(3)假设＝a，＝b，求△ABC的面积．
解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，
所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，
所以cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2
＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝×4×3×＝3.
B级·素养提升|练能力|
11.(2023届郑州质量预测)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上．假设·＝3，那么·的值为(　　)
A．0 B.
C．－4 D．4
解析：选C　＝2⇒||＝||＝.设与的夹角为α，·＝3⇒||cos α＝1⇒||＝1.以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴建立平面直角坐标系，那么B(0，3)，F(，1)，E.因此＝(，－2)，·＝×－2×3＝2－6＝－4，应选C.
12．(2023届西安模拟)P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，那么△ABC的面积等于(　　)
A. B．2
C．3 D．4
解析：选B　由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD，那么PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形．由||＝2，||＝1可得||＝，那么||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2.
13．(一题多解)(2023届大同模拟)P是线段AB的垂直平分线上一点，O是平面上一点，＝a，＝b，＝p，且||＝3，||＝2，那么p·(a－b)＝________.
解析：解法一：如图，设C为线段AB的中点，连接CP，OC，那么⊥，得·＝0.p·(a－b)＝·(－)＝(＋)·＝·＋·＝·，　
又＝(＋)，＝－，
所以·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝.
解法二：因为P是线段AB垂直平分线上任意一点，不妨设P是线段AB的中点，所以＝p＝(＋)＝(a＋b)，所以p·(a－b)＝(a2－b2)＝.
答案：
14.
在如下图的平面直角坐标系中，点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)假设θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)假设θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ的值．
解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝－t＋t2＋
＝t2－t＋1＝＋，
所以当t＝时，|＋|有最小值且最小值为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，那么m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1，所以当θ＝时，m·n取得最小值为1－.
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