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第三节 二项式定理
授课提示：对应学生用书第379页
[A组 基础保分练]
1．（2021·杭州模拟）的展开式中x3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：的展开式的通项公式为Tr＋1＝C，令10－r＝3⇒r＝7，所以展开式中x3的系数为C＝×＝15．
答案：C
2．（x＋2y）5的展开式中含x3y2项的系数为（ ）
A．5 B．10
C．20 D．40
解析：（x＋2y）5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r（2y）r，所以含x3y2项的系数即r＝2时的系数，即C×22＝40．
答案：D
3．的展开式的常数项为160，则实数a＝（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：的展开式的通项Tr＋1＝C（ax）6－r·＝Ca6－rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以Ca6－3＝160，解得a＝2．
答案：B
4．在（1＋x）n（n∈N＋）的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝（ ）
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：含x5的项是第6项，它是中间项，∴n＝10．
答案：C
5．（2021·湖南岳阳模拟）将多项式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得（x－2）（x＋2）5，则a5＝（ ）
A．8 B．10
C．12 D．1
解析：（x－2）（x＋2）5＝（x2－4）·（x＋2）4，所以（x＋2）4的展开式中x3的系数为C·21＝8，所以a5＝8．
答案：A
6．在二项式的展开式中，各项系数和为M，各项二项式系数和为N，且M＋N＝72，则展开式中常数项的值为（ ）
A．18 B．12
C．9 D．6
解析：法一：令x＝1，得展开式中各项系数和M＝4n，各项二项式系数和N＝2n，则2n＋4n＝72，得n＝3．则展开式的通项公式为Tk＋1＝C（）3－k＝3kCx，令3－3k＝0，得k＝1，所以常数项为9．
法二：令x＝1，得展开式中各项系数和M＝4n，各项二项式系数和N＝2n，则2n＋4n＝72，得n＝3．可看作三个相乘，其展开式中的常数项为C××（）2＝9．
答案：C
7．（2021·湖南五市十校联考）（x＋1）（x－1）6的展开式中x6的系数为_________．
解析：（x－1）6的通项为Tr＋1＝Cx6－r·（－1）r，令r＝1，可得x5的系数为－6，令r＝0，可得x6的系数为1，所以（x＋1）（x－1）6的展开式中x6的系数为－6＋1＝－5．
答案：－5
8．若二项式的展开式中存在常数项，则正整数n的最小值为_________．
解析：二项式的展开式的通项公式是Tr＋1＝Cxn－r·＝C（－2）rxn－r，r＝0，1，2，…，n，令n－r＝0，得n＝r，所以正整数n的最小值为4．
答案：4
9．已知的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求展开式中系数最大的项．
解析：（1）由题设，得C＋·C＝2×·C，
即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1（舍去）．
（2）设第r＋1的系数最大，则
即
解得2≤r≤3．
所以系数最大的项为T3＝7x5，T4＝7x．
10．（2021·福州段考）已知（－）n的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求（1－x）3＋（1－x）4＋…＋（1－x）n的展开式中x2的系数．
解析：（1）∵（－）n的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512，
∴2n－1＝512＝29，
∴n－1＝9，解得n＝10．
∴Tr＋1＝C（）10－r（－）r＝（－1）rCx＋＝（－1）rCx5－（r＝0，1，…，10）．
由5－∈Z，得r＝0，6．
∴展开式中的所有有理项为T1＝Cx5＝x5，T7＝Cx4＝210x4．
（2）展开式中x2的系数为C＋C＋…＋C＝（C－C）＋（C－C）＋…＋（C－C）＝C－C＝164．
[B组 能力提升练]
1．若（x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a9（x－1）9，则a8＝（ ）
A．18 B．－18
C．－27 D．27
解析：由题意，得（x－3）9＝[（x－1）－2]9，a8表示展开式中含（x－1）8项的系数，故a8＝C（－2）＝－18．
答案：B
2．的展开式中的常数项为（ ）
A．64 B．－64
C．84 D．－84
解析：的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·（）9－r·＝（－1）r·C·x，由＝0，得r＝3，∴的展开式中的常数项为T4＝（－1）3×C＝－84．
答案：D
3．（2021·茂名联考）在（＋x）6的展开式中，项的系数为（ ）
A．200 B．180
C．150 D．120
解析：（＋x）6展开式的通项公式为Tr＋1＝C（）6－r·xr＝Cx，令＝4，得r＝2，则T3＝Cx＝15x4．
展开式的通项公式为Tr＋1＝C＝Cy－r，令r＝2可得T3＝Cy－2＝10y－2．故项的系数为15×10＝150．
答案：C
4．（2021·岳阳模拟）将多项式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得（x－2）（x＋2）5，则a5＝（ ）
A．8 B．10
C．12 D．1
解析：（x－2）（x＋2）5＝（x2－4）·（x＋2）4，所以（x＋2）4的展开式中x3的系数为C·21＝8，所以a5＝8．
答案：A
5．（2021·唐山摸底）在的展开式中，x4的系数为5，则实数a的值为_________．
解析：由条件可知二项展开式的通项Tr＋1＝C·（ax2）5－r·＝（－2）rC·a5－rx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，故（－2）2C·a3＝5，解得a＝．
答案：
6．若二项式的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其常数项是_________．
解析：∵二项式的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，∴n＝10，∴Tr＋1＝C（）10－r＝（－2）rC·x，令＝0，解得r＝6，∴常数项是（－2）6C＝13 440．
答案：13 440
[C组 创新应用练]
1．1－90C＋902C－903C＋…＋9010C 除以88的余数是（ ）
A．－1 B．－87
C．1 D．87
解析：1－90C＋902C－903C＋…＋9010·C＝（1－90）10＝8910＝（88＋1）10＝C8810＋C889＋…＋C88＋C＝88k＋1（k为正整数），所以可知余数为1．
答案：C
2．（2021·厦门联考）在的展开式中，x2的系数为（ ）
A．10 B．30
C．45 D．120
解析：因为＝＝（1＋x）10＋C（1＋x）9＋…＋C，所以x2只出现在（1＋x）10的展开式中，所以含x2的项为Cx2，系数为C＝45．
答案：C
3．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a＝b（b mod m）．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a＝b（b mod 10），则b的值可以是（ ）
A．2 011 B．2 012
C．2 013 D．2 014
解析：因为a＝（1＋2）20＝320＝910＝（10－1）10＝C·1010－C·109＋…－C·10＋1，所以a被10除得的余数为1，结合选项知2 011被10除得的余数是1．
答案：A
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