2022高考数学一轮复习第12章算法初步复数推理与证明第5讲数学归纳法课时作业含解析新人教B版.doc

数学归纳法
课时作业
1．用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝(n∈N*)．
证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，
右边＝＝，左边＝右边，
所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有
＋＋…＋＝，
那么当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋＝
＝＝＝，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．
2．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．
证明　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即
＋＋…＋>.
当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋
＝＋＋…＋＋
>＋
>＋＝.
∴当n＝k＋1时不等式也成立．
∴原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．
3．试证：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
证明　(1)当n＝1时，f(1)＝64，命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．
当n＝k＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9
＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9
＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，
即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，
所以n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)(2)可知，
对于任意n∈N*，命题都成立．
4．设集合M＝{1,2,3，…，n}(n≥3，n∈N*)，记M的含有三个元素的子集的个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn.
(1)求，，，的值；
(2)猜测的表达式，并证明．
解　(1)＝2，＝，＝3，＝.
(2)猜测＝(n≥3，n∈N*)．
下面用数归纳法证明．
①当n＝3时，由(1)知猜测成立；
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，猜测成立，
即＝，而Sk＝C，所以Tk＝·C.
那么当n＝k＋1时，易知Sk＋1＝C，
而当集合M从{1,2,3，…，k}变为{1,2,3，…，k，k＋1}时，Tk＋1在Tk的根底上增加了1个2,2个3,3个4，…，(k－1)个k.
所以Tk＋1＝Tk＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k(k－1)
＝·C＋2(C＋C＋C＋…＋C)
＝·C＋2(C＋C＋C＋…＋C)
＝·C＋2C
＝·C
＝·Sk＋1，
故＝.
所以当n＝k＋1时，猜测也成立．
综上所述，猜测成立，即＝(n≥3，n∈N*)．