2022届高考数学总复习教学案直线与圆圆与圆的位置关系.docx

直线与圆、圆与圆的位置关系
[知识能否忆起]
一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)

相离
相切
相交
图形

量化
方程观点
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
几何观点
d＞r
d＝r
d＜r
二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)

相离
外切
相交
内切
内含
图形

量化
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d ＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　)
A．相切B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心D．相离
解析：选B由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝，0＜d＜，故该直线与圆相交但不过圆心．
2．(2022·银川质检)由直线y＝x＋1上的一点向圆x2＋y2－6x＋8＝0引切线，那么切线长的最小值为(　　)
A.B．2
C．3D.
解析：选A由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x2＋y2－6x＋8＝0可化为(x－3)2＋y2＝1，那么圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离为＝2，切线长的最小值为＝.
3．直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝r2相交于A，B两点，且AB的长为2，那么圆的半径为(　　)
A.B.
C．1D．2
解析：选B圆心(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝.那么r2＝2＋d2＝，r＝.
4．(教材习题改编)假设圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，那么实数k的取值范围是________．
解析：由题意知＞1，解得－＜k＜.
答案：(－， )
5．两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，那么两圆公共弦所在的直线方程是____________．
解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0.
答案：x－2y＋4＝0
1.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．

直线与圆的位置关系的判断
典题导入
[例1](2022·陕西高考)圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，那么(　　)
A．l与C相交B．l与C相切
C．l与C相离D．以上三个选项均有可能
[自主解答]将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得
32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
所以点P(3,0)在圆内．
故过点P的直线l定与圆C相交．
[答案]A
本例中假设直线l为“x－y＋4＝0”问题不变．
解：∵圆的方程为x－2)2＋y2＝4，
∴圆心(2,0)，r＝2.
又圆心到直线的距离为d＝＝3＞2.
∴l与C相离．
由题悟法
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：假设直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．
以题试法
1．(2022·哈师大附中月考)直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是(　　)
A．(－2，2) B．(－，)
C.D.
解析：选C易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l的方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，根据点到直线的距离公式得＜1，即k2＜，解得－＜k＜.

直线与圆的位置关系的综合
典题导入
[例2](1)(2022·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，那么弦AB的长等于(　　)
A．3B．2
C.D．1
(2)(2022·天津高考)设m，n∈R，假设直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，那么m＋n的取值范围是(　　)
A．[1－，1＋ ]
B．(－∞，1－ ]∪[1＋，＋∞)
C．[2－2，2＋2 ]
D．(－∞，2－2 ]∪[2＋2，＋∞)
[自主解答](1)圆x2＋y2＝4的圆心(0,0)，半径为2，那么圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1.
故|AB|＝2＝2＝2.
(2)圆心(1,1)到直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0的距离为＝1，所以m＋n＋1＝mn≤(m＋n)2，整理得[(m＋n)－2]2－8≥0，解得m＋n≥2＋2或m＋n≤2－2.
[答案](1)B　(2)D
由题悟法
1．圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，那么2＝r2－d2.
(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：
|AB|＝|x1－x2|＝.
[注意]常用几何法研究圆的弦的有关问题．
2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，假设点在圆内，无解；假设点在圆上，有一解；假设点在圆外，有两解．
以题试法
2．(2022·杭州模拟)直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，假设|MN|≥2，那么k的取值范围是(　　)
A.B.
C．[－， ] D.
解析：选B如图，设圆心C(2,3)到直线y＝kx＋3的距离为d，假设|MN|≥2，那么d2＝r2－2≤4－3＝1，即≤1，解得－≤k≤.

圆与圆的位置关系
典题导入
[例3](1)(2022·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切B．相交
C．外切D．相离
(2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，那么两圆心的距离|C1C2|＝________.
[自主解答](1)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2＜d＜3＋2，∴两圆相交．
(2)由题意可设两圆的方程为(x－ri)2＋(y－ri)2＝r，ri＞0，i＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4－ri)2＋(1－ri)2＝r，整理得r－10ri＋17＝0，此方程的两根即为两圆的半径r1，r2，所以r1r2＝17，r1＋r2＝10，那么|C1C2|＝＝×＝×＝8.

[答案](1)B　(2)8
由题悟法
两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．假设两圆相交，那么两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
以题试法
3．(2022·青岛二中月考)假设⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，那么线段AB的长是________．
解析：依题意得|OO1|＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··|OO1|＝·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝＝＝4.
答案：4
一、选择题
1．(2022·人大附中月考)设m＞0，那么直线(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为(　　)
A．相切B．相交
C．相切或相离D．相交或相切
解析：选C圆心到直线l的距离为d＝，圆半径为.因为d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．
2．(2022·福建高考)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，那么弦AB的长度等于(　　)
A．2B．2
C.D．1
解析：选B因为圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离为1，所以AB＝2＝2.
3．(2022·安徽高考)假设直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，那么实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1]B．[－1,3]
C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选C欲使直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径即可，即≤，化简得|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
4．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，那么|AB|的最小值为(　　)
A.B.
C．2D．3
解析：选C设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，那么切线方程为x0x＋y0y＝1.分别令x＝0，y＝0得A，B，那么|AB|＝＝≥＝2.当且仅当x0＝y0时，等号成立．
5．(2022·兰州模拟)假设圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，那么实数r的取值范围为(　　)
A．(＋1，＋∞) B．(－1, ＋1)
C．(0, －1) D．(0, ＋1)
解析：选A计算得圆心到直线l的距离为＝ ＞1，如图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.
6．(2022·临沂模拟)点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，假设四边形PACB的最小面积是2，那么k的值为(　　)
AB.
C．2D．2
解析：选D圆心C(0,1)到l的距离d＝，
所以四边形面积的最小值为2×＝2，
解得k2＝4，即k＝±2.
又k＞0，即k＝2.
7．(2022·朝阳高三期末)设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，那么实数m的值是________．
解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x－my－1＝0的距离d＝＝1，即＝1，解得m＝±.
答案：±
8．(2022·东北三校联考)假设a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，那么圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．
解析：由题意可知圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为2，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2.
答案：2
9．(2022·江西高考)过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，假设两条切线的夹角是60°，那么点P的坐标是________．
解析：∵点P在直线x＋y－2＝0上，∴可设点P(x0，－x0＋2)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.由两点间的距离公式得OP＝＝2，解得x0＝.故点P的坐标是( ，)．
答案：( ， )
10．(2022·福州调研)⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．
(1)假设|AB|＝，求|MQ|及直线MQ的方程；
(2)求证：直线AB恒过定点．
解：(1)设直线MQ交AB于点P，那么|AP|＝，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|＝＝，
又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3.
设Q(x,0)，而点M(0,2)，由＝3，得x＝±，
那么Q点的坐标为(，0)或(－，0)．
从而直线MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.
(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段AB是此圆与圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点.
11．以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，假设|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
解：(1)证明：由题设知，圆C的方程为
(x－t)2＋2＝t2＋，
化简得x2－2tx＋y2－y＝0，
当y＝0时，x＝0或2t，那么A(2t,0)；
当x＝0时，y＝0或，那么B，
所以S△AOB＝|OA|·|OB|
＝|2t|·＝4为定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，那么原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，那么CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，那么直线OC的斜率
k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.
∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，
由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
12．在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，
整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①
直线与圆交于两个不同的点A、B等价于Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，解得－1＋x2)＋4.③
因P(0,2)、Q(6,0)，＝(6，－2)，
所以＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝－.
而由(1)知k∈，故没有符合题意的常数k.
1．两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x－2y－40＝0，那么它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．
解析：由两圆的方程x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x－2y－40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x＋y－5＝0.圆心(5,5)到直线2x＋y－5＝0的距离为＝2，弦长的一半为＝，得公共弦长为2.
答案：2x＋y－5＝02
2．(2022·上海模拟)圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，a1，a2，…，a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，假设数列a1，a2，…，a11成等差数列，那么该等差数列公差的最大值是________．
解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为4，故公差最大为＝.
答案：
3.(2022·江西六校联考)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线n，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|＝|BO|＝2.
(1)求圆M和抛物线C的方程；
(2)假设P为抛物线C上的动点，求,·,的最小值；
(3)过直线l上的动点Q向圆M作切线，切点分别为S、T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．
解：(1)易得B(1，)，A(－1，－)，设圆M的方程为(x－a)2＋y2＝a2(a＞0)，
将点B(1，)代入圆M的方程得a＝2，所以圆M的方程为(x－2)2＋y2＝4，因为点A(－1，－)在准线l上，所以＝1，p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)得，M(2,0)，F(1,0)，设点P(x，y)，那么,＝(2－x，－y)，,＝(1－x，－y)，又点P在抛物线y2＝4x上，所以,·,＝(2－x)(1－x)＋y2＝x2－3x＋2＋4x＝x2＋x＋2，因为x≥0，所以,·,≥2，即,·,的最小值为2.
(3)证明：设点Q(－1，m)，那么|QS|＝|QT|＝，以Q为圆心，为半径的圆的方程为(x＋1)2＋(y－m)2＝m2＋5，即x2＋y2＋2x－2my－4＝0，①
又圆M的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，②
由①②两式相减即得直线ST的方程3x－my－2＝0，
显然直线ST恒过定点.
1．两个圆：C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(　　)
A．1条B．2条
C．3条D．4条
解析：选B由题知C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，那么圆心C1(－1，－1)，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C2(2,1)，两圆半径均为2，又|C1C2|＝＝＜4，那么两圆相交⇒只有两条外公切线．
2．(2022·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，假设直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，那么k的最大值是________．
解析：设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，那么d＝，由题意知，问题转化为d≤2，即d＝≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.
答案：
3．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，那么直线l的斜率为________．
解析：将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦长为得弦心距为.设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，那么＝，化简得7k2－24k＋17＝0，得k＝1或k＝.
答案：1或
4．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)假设圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)假设圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解：(1)设圆O2的半径为r2，
∵两圆外切，
∴|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)，
故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r－8＝0.
因为圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为
＝＝，
解得r＝4或r＝20.
故圆O2的方程为
(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.