2022届高考数学总复习课时跟踪练六十三几何概型文含解析新人教A版.doc

课时跟踪练(六十三)
A组　基础巩固
1．(2019·银川质检)在区间[－1，3]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：因为|x|≤m，所以－m≤x≤m，由题意得＝，解得m＝1，故选B.
答案：B
2.(2019·三湘名校教育联盟联考)已知以原点O为圆心，1为半径的圆以及函数y＝x3的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为(　　)

A. B. C. D.
解析：由图形的对称性知，所求概率为＝.故选B.
答案：B
3．(2019·深圳二调)设实数a∈(0，1)，则函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零点的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析：由函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零点，可得Δ＝[－(2a＋1)]2－4(a2＋1)＝4a－3≥0，解得a≥，即有≤a＜1，结合几何概型的概率计算公式可得所求的概率为P＝＝，故选D.
答案：D
4.(2019·安庆模拟)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径为18 mm，小米同学为了测算图中装饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是 (　　)

A. mm2 B. mm2
C. mm2 D. mm2
解析：设装饰狗的面积为S mm2.
由题意得＝，所以S＝ mm2，故选B.
答案：B
5．(2019·湖北调研)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝x，则圆C上任取一点A到直线l的距离小于1的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析：如图所示，设与y＝x平行的两直线AD，BF交圆C于点A，D，B，F，且它们到直线y＝x的距离相等，过点A作AE垂直于直线y＝x，垂足为E，当点A到直线y＝x的距离为1时，AE＝1，又CA＝2，则∠ACE＝，所以∠ACB＝∠FCD＝，所以所求概率P＝＝，故选D.

答案：D
6．(2019·安阳模拟)在边长为a的正三角形内任取一点Q，则点Q到三个顶点的距离均大于的概率是(　　)
A.－π B．1－π
C. D.
解析：设边长为a的正三角形为三角形ABC，如图所示：

因为AB＝a，所以S△ABC＝·a2·sin ＝a2，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于或等于的所有点组成的平面区域如图中阴影部分所示，各部分组合起来构成一个半径为的半圆，
所以S阴影＝·π·＝，
所以使点Q到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率为P＝1－＝1－π.故选B.
答案：B
7．(2019·惠州模拟)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：40－8：00之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析：设小张和小王到校的时间分别为7时x分和7时y分，则则满足条件的区域如图中阴影部分所示．

故所求概率P＝＝.
答案：A
8．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)
A.＋π B.＋
C.－ D.－
解析：因为复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)且|z|≤1，所以|z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1，

即点(x，y)在以(1，0)为圆心、1为半径的圆上及其内部，而y≥x表示直线y＝x左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，
即P＝＝－.
答案：D
9.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．

解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为＝.
答案：
10．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．
解析：由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝＝.
答案：
11.如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．

解析：设正方形边长为2，则正方形面积为4，正方形内切圆中的黑色部分的面积S＝×π×12＝.所以在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率P＝＝.
答案：
12.如图，正四棱锥S-ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．

解析：设球的半径为R，则所求的概率为P＝＝＝.
答案：
B组　素养提升
13.(2019·烟台模拟) 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是 (　　)

A. B. C. D.
解析：不妨设小正方形的边长为1，则两个小等腰直角三角形的边长分别为1，1，，两个大等腰直角三角形的边长为2，2，2，即最大正方形的边长为2，则较大等腰直角三角形的边长分别为，，2，故所求概率P＝1－＝，故选B.
答案：B
14．[一题多解](2019·太原模拟)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为(　　)

A. B. C. D.
解析：法一　设大正方形边长为a，直角三角形中较大锐角为θ，θ∈，则小正方形的面积为a2－4××acos θ×asin θ＝a2－a2sin 2θ，则由题意，得＝，解得sin 2θ＝.因为θ∈，所以sin θ＋cos θ＝＝，①
sin θ－cos θ＝＝ .②
由①＋②解得sin θ＝，故选B.
法二　设大正方形面积为5，则小正方形面积为1，则大正方形边长为，小正方形边长为1，设四个全等的直角三角形较短的直角边长为x，则有x2＋(x＋1)2＝()2，解得x＝1，所以四个全等的直角三角形的边长为1，2，，所以直角三角形中较大锐角的正弦值sin θ＝＝，故选B.
答案：B
15．(2019·长沙模拟)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，D为棱BC上一个动点，设直线PD与平面ABC所成的角为θ，则θ不大于45°的概率为________．
解析：因为tan θ＝＝≤1，所以AD≥1.在等腰三角形ABC中，当BD≤1或CD≤1时，AD≥1，又BC＝3，故所求概率为.
答案：
16．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析：因为去看电影的概率P1＝＝，
去打篮球的概率P2＝＝，
所以不在家看书的概率为P＝＋＝.
答案：