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空间向量的运算及应用
课时作业
1．a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，那么x＝( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
答案 B
解析 由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．应选B.
2．假设O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，那么( )
A.，，共线 B.，共线
C.，共线 D．O，A，B，C四点共面
答案 D
解析 ∵向量，，不能构成空间的一个基底，∴向量，，共面，因此O，A，B，C四点共面．
3．在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，那么等于( )
A．a＋b－c B．c－a－b
C．a－b－c D．b－a＋c
答案 B
解析 如下图，＝＋＝＋(－)＝－b＋c－a＝c－a－b.应选B.
4．向量a＝(1,0，－1)，那么以下向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1,1,0) B．(1，－1,0)
C．(0，－1,1) D．(－1,0,1)
答案 B
解析 经检验，B中向量(1，－1,0)与向量a＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60°.应选B.
5．平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，那么以下点P在平面α内的是( )
A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1)
C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)
答案 A
解析 ∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n⊥，在A中，＝(1,4,1)，∴n·＝0.应选A.
6．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，·(－)＝( )
A．－1 B．0
C. D.
答案 B
解析 ·(－)＝·＝0.应选B.
7．(2022·吉林一中模拟)如图，在空间四边形ABCD中，假设向量＝(－3，5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，那么的坐标为( )
A．(2,3,3)
B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1)
D．(－5,2，－1)
答案 B
解析 取AC的中点M，连接ME，MF，＝＝，＝＝，而＝－＝(－2，－3，－3)，应选B.
8．(2022·上海奉贤二模)长方体ABCD－A1B1C1D1，以下向量的数量积一定不为0的是( )
A.·
B.·
C.·
D.·
答案 D
解析 当侧面BCC1B1是正方形时，得·＝0，所以排除A；当底面ABCD是正方形时，得AC垂直于对角面BD1，所以排除B；显然AB⊥侧面ADD1A1，所以排除C；由题图可得BD1与BC所成的角小于90°.应选D.
9．两个非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是( )
A.＝
B．a1b1＝a2b2＝a3b3
C．a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
D．存在非零实数k，使a＝kb
答案 D
解析 应选D.首先排除B；C表示a⊥b；A表示与a，b分别平行的单位向量相等，但两向量方向相反也叫平行．
10．向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，假设(a＋b)·c＝7，那么a与c的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 C
解析 由于a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，即a·c＝－7.
又因为|a|＝＝，
所以cos〈a，c〉＝＝－，所以〈a，c〉＝120°.
11．正方体ABCD－A1B1C1D1，如下图，E为上底面A1B1C1D1的中心，假设＝＋x＋y，那么x，y的值分别为( )
A．x＝y＝1
B．x＝1，y＝
C．x＝y＝
D．x＝，y＝1
答案 C
解析 由向量运算的三角形法那么知，＝＋，而＝，＝＋，
又＝，＝＝，
∴＝＋，
∴＝＋＋，∴x＝y＝.
12．(2022·广西南宁模拟)A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC的中点，那么△AMD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
答案 C
解析 ∵M为BC的中点，∴＝(＋)．
∴·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．应选C.
13．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，那么实数x的值为________．
答案 2
解析 由题意知·＝0，||＝||，
又＝(6，－2，－3)，＝(x－4,3，－6)，
∴解得x＝2.
14．如下图，在空间四边形OACB中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝，点N为BC的中点，那么等于________________(用向量a，b，c表示)．
答案 －a＋b＋c
解析 ＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.
15．如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，假设动点P在线段BD1上运动，那么·的取值范围是________．
答案 [0,1]
解析 由题意，设＝λ，其中λ∈[0,1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝2＋λ·(－)＝(1－λ)2＝1－λ∈[0,1]．因此·的取值范围是[0,1]．
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