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事件
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重难突破
知识点一 事件
概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.
事件类型：
①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
典例1（2019·淄博市期中）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）
A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日
C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意
【答案】D
【解析】分析：直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
详解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误；
B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误；
C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误；
D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确．
故选：D．
典例2（2018·阜阳市期末）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12
【答案】D
【详解】A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误；
B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误；
C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误；
D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确；
故选D．
典例3（2018·南充市期末）下列事件中必然发生的事件是（ ）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
【答案】C
【详解】A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；
B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；
C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；
故选C．
典例4（2018·苏州市高新区期末）下列说法正确的是（ ）
A．367人中至少有2人生日相同
B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是
C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨
D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖
【答案】A
【解析】详解：A、367人中至少有2人生日相同，正确；
B、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，错误；
C、天气预报说明天的降水概率为90%，则明天不一定会下雨，错误；
D、某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票不一定有1张中奖，错误；
故选：A．
典例5（2019·莆田市期末）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
【答案】D
【解析】试题分析：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选D．
典例6（2019·绍兴市期中）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和是
C．买一张电影票，座位号是奇数号 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【答案】B
【详解】∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意．
故选：B．
典例7（2018·无棣县期中）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
【答案】B
【解析】试题解析：水涨船高是必然事件，A不正确；
守株待兔是随机事件，B正确；
水中捞月是不可能事件，C不正确
缘木求鱼是不可能事件，D不正确；
故选B．
典例8（2019·江阴市期末）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球
B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球
D．至少有2个球是白球
【答案】A
【解析】试题分析：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．故选A．
典例9（2017·成都市期末）下列事件为必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是偶数
B．打开电视机，正在播放动画片
C．两角及一边对应相等的两个三角形全等
D．三根长度为2cm、3cm、5cm的木棒首尾相接能摆成三角形
【答案】C
【详解】A、任意买一张电影票，座位号是偶数是随机事件；
B、打开电视机，正在播放动画片是随机事件；
C、两角及一边对应相等的两个三角形全等是必然事件；
D、三根长度为2cm、3cm、5cm的木棒首尾相接能摆成三角形是不可能事件.
故选C.
典例10（2018·江阴市期末）下列事件中，是必然事件的为（ ）
A．3天内会下雨
B．打开电视，正在播放广告
C．367人中至少有2人公历生日相同
D．某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩
【答案】C
【解析】试题分析：必然事件是一定能够发生的事件，选项A、B、D的结果是不确定的，是随机事件；选项C，一年最多有366天，所以367人中至少有2人公历生日相同是确定能够发生的，是必然事件，故答案选C.
知识点二 概率
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为
典例1（2019·青县期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
【答案】A
【详解】A.连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故此选项错误；
B.连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故此选项正确；
C.大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故此选项正确；
D.通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确．
故选A．
典例2（2018·任城区期末）在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】详解：∵袋子中装有4个红球和3个黑球，
∴共有7个球，其中4个红球，
∴从口袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是.
故选：B.
典例3（2019·郑州市期中）有A、B两只不透明口袋，每只口袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“细”“致”的字样，B袋中的两只球上分别写了“信”“心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：从每只口袋里各摸出一只球，能组成“细心”字样，
则从A袋中摸的球必须是写了“细” 字样，概率为；
从B袋中摸的球必须是写了“心”的字样，其概率为；
故摸的两个球能组成“细心”字样的概率是.
故选：A.
典例4（2018·茂名市期末）标号为A、B、C、D的四个盒子中所装有的白球和黑球数如下，则下列盒子最易摸到黑球的是（ ）
A．12个黑球和4个白球 B．10个黑球和10个白球
C．4个黑球和2个白球 D．10个黑球和5个白球
【答案】A
【详解】选项A，摸到黑球的概率为=0.75；选项B，摸到黑球的概率为=0.5；选项C，摸到黑球的概率为；选项D，摸到黑球的概率为.
故选A．
典例5（2019·临河区期末）从，0，π，，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在，0，π，，6这5个数中0，6为有理数，
抽到有理数的概率是.
故选C.
典例6（2018·无锡市期中）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】详解：P(指向蓝色区域)=，故选D．
点睛：本题主要考查的就是概率的计算法则，属于基础题型．解答这个问题我们只需要根据概率的计算法则进行计算即可．
典例7（2017·成都市期末）王明的讲义夹里放了大小相同的试卷共50张，其中语文15张、数学25张、英语10张，他随机从讲义夹中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵王明的讲义夹里放了大小相同的试卷共50张，其中数学25张，
∴他随机地从讲义夹中抽出1张,抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为.
故选A.
典例8（2019·无棣县期中）在一个不透明的布袋中，有黄色、白色的玻璃球共有10个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现摸到黄色球的频率稳定在40%，则布袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【详解】∵小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到黄色球的频率稳定在40%，
∴口袋中白色球的个数很可能是（1-40%）×10=6个．
故选：C
典例9（2019·瑞安市期末）某口袋里装有红色、黑色球共80个，它们除了颜色外其他都相同，已知摸到红球的概率为0.2，则口袋中红球的个数为（ ）
A．5 B．9 C．16 D．20
【答案】C
【详解】∵红色，黑色球共有80个，且摸到红球的概率为0.2，∴红球个数为80×0.2=16，故本题正确答案为C.
典例10（2018·武汉市期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外其它完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色，黑色球的概率稳定在15%和40%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）
A．25 B．26 C．29 D．27
【答案】D
【详解】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和40%，
∴摸到白球的频率为1-15%-40%=45%，
故口袋中白色球的个数可能是60×45%=27个．
故选：D
巩固训练
一、 单选题（共10小题）
1．（2019·南京市期中）甲袋中装有3个白球和2个红球，乙袋中装有30个白球和20个红球，这些球除颜色外都相同．把两只袋子中的球搅匀，并分别从中任意摸出一个球，从甲袋中摸出红球记为事件A，从乙袋中摸出红球记为事件B，则
A．P(A)＞P(B) B．P(A)＜P(B) C．P(A)＝P(B) D．无法确定
【答案】C
【详解】解：P（A）=，P（B）=
∴P(A)＝P(B)
故选：C.
2．（2018·嘉定区二期末）下列事件中，属于确定事件的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数是6
B．抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数大于6
C．抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数小于6
D．抛掷一枚质地均匀的骰子6次，“正面向上的点数是6”至少出现一次
【答案】B
【详解】A、抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数是6是随机事件；
B、抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数大于6是不可能事件；
C、抛一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数小于6是随机事件；
D、抛掷一枚质地均匀的骰子6次，“正面向上的点数是6”至少出现一次是随机事件；
故选：B．
3．（2019·延津县期中）下列说法正确的是（ ）
A．“明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨
B．数据4，3，5，5，0的中位数和众数都是5
C．要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用普查的方式
D．若甲、乙两组数中各有20个数据，平均数=10，方差s2甲=1.25，s2乙=0.96，则说明乙组数据比甲组数据稳定
【答案】D
【解析】选项A，“明天降雨的概率是50%”表示明天降雨和不降雨的可能性相等，并不表示半天都在降雨，选项A错误；选项B，数据4，3，5，5，0的中位数是4，众数是5，选项B错误；选项C，要了解一批钢化玻璃的最少允许碎片数，应采用抽样调查的方式，选项C错误；选项D，因方差s2甲＞s2乙，可得乙组数据比甲组数据稳定正确，选项D正确．故选D.
4．（2019·菏泽市期中）关于概率，下列说法正确的是（ ）
A．某地“明天降雨的概率是90%”表明明天该地有90%的时间会下雨；
B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月；
C．“打开电视，正在播放新闻节目”是不可能事件；
D．经过有交通信号灯的路口，一定遇到红灯.
【答案】B
【详解】某地“明天降雨的概率是90%”表明明天该地下雨的可能性很大，故A不正确；
“13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月”，根据“抽屉原理”，这是一个必然事件，故B正确.
“打开电视，正在播放新闻节目”是可能事件；故C不正确；
“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”.是可能事件，故D不正确.
故选B
5．（2019·锦州市期末）下列事件中，随机事件是（ ）
A．抛掷一枚普通正方体骰子所得的点数小于7
B．任意打开七年级下册数学教科书，正好是第136页
C．任意画一个三角形，其内角和是
D．将油滴入水中，油会浮在水面上
【答案】B
【详解】A选项：因为任意一面的数学是1－6的数，故小于7，所以是必然事件；
B选项：任意打开七年级下册数学教科书，正好是第136页是随机的，所以是随机事件；
C选项：因为任意三角形的内角和都为180度，所以任意画一个三角形，其内角和是是必然事件；
D选项：油会浮在水面上是必然事件.
故选：B.
6．（2019·咸阳市期末）如图把一个圆形转盘按的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，
∴圆被等分成10份，其中B区域占2份，
∴落在B区域的概率==；
故选：B．
7．（2019·深圳市期中）小明抛一枚硬币10次，有7次正面向上，当他抛第11次时，正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为.
∴第11次掷时出现正面向上的概率是．
故选：B．
8．（2019·滨州市期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】正方形的面积=1×4=4
三角形的面积=
∴落在△ABC内部的概率=
故答案选择C.
9．（2019·重庆市期末）下列事件为必然事件的是（ ）
A．某运动员投篮时连续3次全中 B．抛掷一块石块，石块终将下落
C．今天购买一张彩票，中大奖 D．明天我市主城区最高气温为38℃
【答案】B
【详解】解：A、某运动员投篮时连续3次全中，是随机事件；
B、抛掷一块石块，石块终将下落，是必然事件；
C、今天购买一张彩票，中大奖，是随机事件；
D、明天我市主城区最高气温为38℃，是随机事件；
故选择：B.
10．（2019·南京市期中）下列说法正确的是（ ）
A．任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“有5次正面朝上”是必然事件
B．明天的降水概率为40%，则“明天下雨”是确定事件
C．篮球队员在罚球线上投篮一次，则“投中”是随机事件
D．a是实数，则“|a|≥0”是不可能事件
【答案】C
【详解】A、任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“有5次正面朝上”是随机事件，故原命题错误；
B、明天的降水概率为40%，则“明天下雨”是随机事件，故原命题错误；
C、篮球队员在罚球线上投篮一次，则“投中”是随机事件，正确；
D、a是实数，则“|a|≥0”是必然事件，故原命题错误；
故选：C
二、 填空题（共5小题）
11．（2018·潮南区期末）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为34”，则这个袋中白球大约有_____个．
【答案】2
【解析】试题解析：∵袋中装有6个黑球和n个白球，
∴袋中一共有球（6+n）个，
∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为34，
∴66+n=34，
解得：n=2．
故答案为：2．
12．（2018·丹徒区期末）有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是_____．
【答案】
【解析】详解：∵等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形中，平行四边形、矩形、正方形、菱形都是中心对称图形，
∴从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是：．
故答案为：．
13．（2019·辽阳市期末）在一个不透明的袋子里装有个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸岀一个乒乓球，恰好是黄球的概率为,则袋子内共有乒乓球的个数为_____.
【答案】10
【解析】详解：设有x个黄球，由题意得：，
解得：x=7，
7+3=10，
故答案为：10．
14．（2019·重庆市期中）小芳掷一枚硬币7次，正面向上的概率为__．
【答案】.
【详解】随机抛一枚均匀的硬币，落地后向上的一面只有正面或反面两种情况，并且这两种情况出现的可能性相同，因此掷一枚硬币，正面向上的概率为，与抛的次数无关，只是抛的次数足够多时，频率越接近于概率，
故答案为：．
15．（2019·兰州市期中）2018年10月1日是第70个国庆节，从数串“20181001”中随机抽取一个数字，抽到数字1的概率是________．
【答案】
【详解】依题意得抽到数字1的概率P=，
故填：.
三、 解答题（共2小题）
16．（2018·吉水县期中）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：
甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；
乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日搅件数超过40，超过部分每件多提成2元．
如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形统计图：
（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；
（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的
揽件数，解决以下问题：
①估计甲公司各揽件员的日平均件数；
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，井说明理由．
【答案】（1）；（2）39件；仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘．
【详解】（1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的有4天，
所以甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率为；
（2）①甲公司各揽件员的日平均件数为=39件；
②甲公司揽件员的日平均工资为70+39×2=148元，
乙公司揽件员的日平均工资为
=[40+]×4+×6
=159.4元，
因为159.4＞148，
所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘．
17．（2019·福田区期末）密码锁有三个转轮，每个转轮上有十个数字：0，1，2，…9．小黄同学是9月份中旬出生，用生日“月份+日期”设置密码：9××
小张同学要破解其密码：
（1）第一个转轮设置的数字是9，第二个转轮设置的数字可能是 ．
（2）请你帮小张同学列举出所有可能的密码，并求密码数能被3整除的概率；
（3）小张同学是6月份出生，根据（1）（2）的规律，请你推算用小张生日设置的密码的所有可能个数．
【答案】（1）1或2（2） （3）30种
【分析】
（1）根据每个月分为上旬、中旬、下旬，分别是：上旬：1日﹣10日 中旬：11日﹣20日 下旬：21日到月底，由此即可解决问题；
（2）利用列举法即可解决问题；
（3）小张同学是6月份出生，6月份只有30天，推出第一个转轮设置的数字是6，第三个转轮设置的数字可能是0，1，2，3；第二个转轮设置的数字可能，0，1，2，…9；由此即可解决问题；
【详解】（1）∵小黄同学是9月份中旬出生，∴第一个转轮设置的数字是9，第二个转轮设置的数字可能是1，2．
故答案为：1或2；
（2）所有可能的密码是：911，912，913，914，915，916，917，918，919，920；
能被3整除的有912，915，918；
密码数能被3整除的概率．
（3）小张同学是6月份出生，6月份只有30天，∴第一个转轮设置的数字是6，第二个转轮设置的数字可能是0，1，2，3；第三个转轮设置的数字可能，0，1，2，…9（第二个转轮设置的数字是0时，第三个转轮的数字不能是0；第二个转轮设置的数字是3时，第三个转轮的数字只能是0），∴一共有9+10+10+1=30，∴小张生日设置的密码的所有可能个数为30种．
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