资源描述
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实际问题与二次函数
知识网络
重难突破
知识点一 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的最小(大)值
一般抛物线 y=ax2+bx+c (a≠0) 的顶点是最低(高)点，顶点（-b2a，4ac-b24a）
【注意】对称轴自变量x的取值范围内，顶点处能够取到二次函数极值。
典例1 （2018春 赣州市期中）运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，铅球在空中飞行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似地满足函数关系y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．下图记录了铅球飞行中的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离最接近的是（ ）
A．2.6 m B．3 m C．3.5 m D．4.8 m
【答案】C
【详解】
由题意抛物线经过（0，1.8），（3，3），（6，2.7），则有：，解得：，∴抛物线的解析式为，∴该铅球飞行到最高点时，水平距离是m．
故选C．
典例2 （2019春 金华县期末）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s=-6t2+bt（b为常数）．已知t=时，s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ）
A．米 B．8米 C．米 D．10米
【答案】C
【详解】
解：把t=，s=6代入s=-6t2+bt得，
6=-6×+b×，
解得，b=15
∴函数解析式为s=-6t2+15t=-6（t-）2+，
∴当t=时，s取得最大值，此时s=，
故选：C．
知识点二 二次函数在实际中的运用
Ø 几何问题：
典例1 （2019春 道外区期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（ ）
A．193 B．194 C．195 D．196
【答案】C
【详解】
∵AB=m米，
∴BC=（28-m）米．
则S=AB•BC=m（28-m）=-m2+28m．
即S=-m2+28m（0＜m＜28）．
由题意可知，m≥628-x≥15，
解得6≤m≤13．
∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，
∴当m=13时，S最大值=195，
即花园面积的最大值为195m2．
故选C．
典例2 （2019春 新华区期末）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
【答案】A
【解析】
六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程:(32−2x)(20−x)=570，
故选：A.
Ø 销售最大利润：
典例1 （2018春 长寿区期末）华润万家超市某服装专柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠，设降价x元，根据题意列方程得( )
A．(40﹣x)(20+2x)＝1200 B．(40﹣x)(20+x)＝1200
C．(50﹣x)(20+2x)＝1200 D．(90﹣x)(20+2x)＝1200
【答案】A
【解析】
试题分析：总利润=单件利润×数量；单件利润=90－50－x，数量=20+2x，则（40－x）（20+2x）=1200．
典例2 （2018春 小店区期末）某产品每件成本为10元，试销阶段的售价x（元）与销售利润y（元）满足y=（x﹣10）（40﹣x），那么获利最多时的售价为（ ）
A．10元 B．25元 C．40元 D．55元
【答案】B
【详解】
∵y=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225，
∴当x=25时，y取得最大值，此时y=225，
即获利最多时的售价为25元，
故选：B．
Ø 拱桥问题（坐标轴不同，二次函数也不同）：
典例1 （2018春 新余县期中）如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面 2m 时，水面宽 4m，若水面上升 1m，则水面宽为（ ）
A．m B．2m C．2m D．2m
【答案】C
【详解】
如右图所示，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为：y=a(x−2)2+2，
∵函数图象过点(0,0)，
∴0=a(0−2)2+2,得a=−，
∴抛物线的解析式为：y=−(x−2)2+2，
当y=1时,1=−(x−2)2+2，
解得,x1=2−、x2=2+，
∴水面的宽度是：(2+)−(2−)=2，故答案选：C.
典例2 （2019春 武义县期中）如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（ ）m．
A．1 B．2 C．26-4 D．6-2
【答案】C
【详解】
建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），
到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：
-1=-0.5x2+2，
解得：x=±6，
所以水面宽度增加到26米，比原先的宽度当然是增加了26-4，
故选C.．
巩固训练
一、单选题（共10小题）
1．（2019春 定兴县期末）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
【答案】A
【解析】
六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程:(32−2x)(20−x)=570，
故选：A.
2．（2017春 东莞市期中）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y=60（300+20x） B．y=（60﹣x）（300+20x）
C．y=300（60﹣20x） D．y=（60﹣x）（300﹣20x）
【答案】B
【解析】
每件商品降价x元后，则每星期的销售量为(300＋20x)件，单价为(60－x)元，则y＝(60－x)(300＋20x)，故选B.
3．（2017秋 孝感市期末 ）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，可列出的方程是（ ）
A．(3+x)(4-0.5x)=15 B．(x+3)(4+0.5x)=15
C．(x+4)(3-0.5x)=15 D．(x+1)(4-0.5x)=15
【答案】A
【详解】
试题解析：设每盆应该多植x株，由题意得
（3+x）（4-0.5x）=15，
故选A．
4．（2016春 五莲县期中）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD最大面积是（ ）
A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2
【答案】C
【解析】
试题分析：设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2，表示出y与x的关系式为y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，，利用二次函数性质即可求出求当x=8m时，ymax=64m2，即所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．故答案选C．
5．（2018春 东辽县三期末）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
【答案】C
【解析】
详解：设销售单价为每千克x元，此时的销售数量为500-10x-50，每千克赚的钱为x-40,
则y=(x-40)500-10(x-50).
故选C.
【名师点睛】此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用,根据利润=(售价-进价)×销量,列出函数解析式,求最值是解题关键.
6．（2019春 高密市期中）有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为( )
A．y＝125x2＋58x
B．y＝－125x2＋５８x
C．y＝－58x2－125x
D．y＝－125x2＋85x＋16
【答案】B
【详解】
设y=a(x−20)2+16，
因为抛物线过(0,0)，
所以代入得：
400a+16=0，
解得a=-125 ，
故此抛物线的函数关系式为：
y=-125 (x−20)2+16，
即y=-125x2+58x，
故选B.
【名师点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标式待定系数法求表达式.
7．（2018春 驻马店市期末）有长24m的篱笆，一面利用围墙围成如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为x m，面积是s m2 ， 则s与x的关系式是（ ）
A．s=﹣3x2+24x B．s=﹣2x2﹣24x
C．s=﹣3x2﹣24x D．s=﹣2x2+24x
【答案】A
【详解】
解：如图所示：
AB为x m，则BC为（24﹣3x）m，
所以S=（24﹣3x）x=﹣3x2+24x．
故选：A．
【名师点睛】
考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是能够用自变量x表示出矩形的长与宽．
8．（2018春 南开区期末）某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=-x2+70x-800，要想获得最大利润，则销售单价为
A．30元 B．35元 C．40元 D．45元
【答案】B
【解析】
∵y=﹣x2+70x﹣800=﹣（x﹣35）2+425，
∴当x=35时，y取得最大值，最大值为425，
即销售单价为35元时，销售利润最大，
故选：B．
9．（2018春 兰西县期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（ ）
A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m
【答案】B
【解析】
如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y=ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a=﹣0.5，∴抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5=﹣0.5x2+2，解得：x=±3，2×3﹣4=2，所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米，故选B．
10．（2019春 任丘市期末）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．16米 B．米 C．16米 D．米
【答案】B
【解析】
试题分析：∵AC⊥x轴，OA=10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x=﹣10时，y=﹣（x﹣80）2+16=﹣（﹣10﹣80）2+16=﹣，
∴C（﹣10，﹣），∴桥面离水面的高度AC为m．故选B．
二、填空题（共5小题）
11．（2018春 鄂州市期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.
【答案】4-4
【详解】
建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为
通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入A点坐标
代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
解得：
所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了
故答案是：
【名师点睛】
考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
12．（2018春 郑东新区期中）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_____m2.
【答案】112.5
【详解】
设矩形的长为xm，则宽为30-x2m，
菜园的面积S=x•30-x2=-12x2+15x=-12（x-15）2+2252，（0＜x≤20）.
∵当x＜15时，S随x的增大而增大，
∴当x=15时，S最大值=2252m2，
故答案为：2252．
【名师点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式是解题的根本，由自变量x的取值范围结合二次函数的性质求函数解析式是解题的关键．
13．（2016春 肃宁县期末）廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=-140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米.(精确到1米)
【答案】85
【解析】
由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就
是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．
故有-140x2+10=8，
即x2=80，x1=45，x2=-45．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：|x1-x2|=|45-（-45）|=85≈18（m）
14．（2017春 松江区期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90º，AC＝6厘米，BC＝8厘米，点P、Q同时由A、C两点出发，分别沿AC、CB方向匀速运动，它们的速度都是每秒1厘米，P点运动_______秒时，△PCQ面积为4平方厘米。
【答案】2或4
【解析】
设x秒后，△PCQ面积为4平方厘米，则AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=xcm，列方程得：
×x（6-x）＝4,
-x2+6x-8=0,
(-x+2)(x-4)=0,
x1=2，x2=4.
故答案是：2或4.
【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解．
15．（2017春 东莞市期中）如图是一座抛物线形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降2m时，水面的宽为__________m．
【答案】
【解析】如下图，建立平面直角坐标系，则由题意可得：A、B、C的坐标分别为：（-6，0）、
（6，0）、（0，4），抛物线的对称轴为轴，
∴设图中抛物线的解析式为： ，
把点B（6，0）代入中得： ，解得，所以该抛物线的解析式为： ，
在中，当时，可得，解得，
∴当水位下降2米时，水面宽度为： （米）.
三、解答题（共2小题）
16．（2019春 玉泉区期中）某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发 现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）y=-2x+160；（2）w=-2x2+200x-3200；（3）当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元.
【详解】
（1）∵y与x满足一次函数关系.
∴设y与x的函数表达式为y=kx+b (k≠0).
将(30,100)，(40,80)代入y=kx+b中，得
100=30k+b.80=40k+b. 解得k=-2.b=160.
∴y与x之间的函数表达式为y=-2x+160.
（2）由题意，得w=y(x-20)=(-2x+160)(x-20)=-2x2+200x-3200.
∴w与x之间的函数表达式为w=-2x2+200x-3200.
（3）w=-2x2+200x-3200=-2(x-50)2+1800.
∵-2<0，∴抛物线开口向下.
由题可知：20≤x≤60，
∴当x=50时，w有最大值，w最大=1800元.
答：当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元.
【名师点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
17．（2018春 昌乐县期中）鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？
②若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？
【答案】（1）y=100+10（60﹣x）=﹣10x+700；（2）每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元；（3）①当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润；②每星期至少要销售该款童装170件．
【解析】分析：（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．
（2））设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
（3）①根据方程即可解决问题；
②列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题．
详解：（1）y=100+10（60-x）=-10x+700．
（2）设每星期利润为W元，
W=（x-30）（-10x+700）=-10（x-50）2+4000．
∴x=50时，W最大值=4000．
∴每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元．
（3）①由题意：-10（x-50）2+4000=3910
解得：x=53或47，
∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润．
②由题意：：-10（x-50）2+4000≥3910，
解得：47≤x≤53，
∵y=100+10（60-x）=-10x+700．
170≤y≤230，
∴每星期至少要销售该款童装170件．
【名师点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，学会利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
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