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旋转
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重难突破
知识点一 旋转的基础
旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫作图形的旋转.点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如图形上的点经过旋转变化点，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.
如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度.
【注意】图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.
典例1 （2018春 南昌市期中）如图，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，则旋转角是（ ）
A．∠AOC B．∠AOD C．∠AOB D．∠BOC
【答案】A
【详解】把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，旋转角是∠AOC或∠BOD．
故选A．
典例2 （2019春 渠县期中）如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A'B'C'.若∠A=40°，∠B'=110°，∠BCA'的度数是（ ）
A.110° B.80° C.40° D.30°
【答案】B
【详解】根据旋转的性质可得：∠A′=∠A,∠A′CB′=∠ACB，
∵∠A=40°，
∴∠A′=40°，
∵∠B′=110°，
∴∠A′CB′=180°−110°−40°=30°，
∴∠ACB=30°，
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，
∴∠ACA′=50°，
∴∠BCA′=30°+50°=80°，
故答案是B.
知识点二 旋转的三要素
【旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
典例1 （2019春 东享区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（ ）
A．12 B．6 C．6 D．
【答案】D
【详解】连接B'B，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°，
∴△AA'C是等边三角形，
∴∠AA'C=60°，
∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°-60°=30°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴∠CB'B=60°，
∵∠CB'A'=30°，
∴∠A'B'B=30°，
∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，
∴AB=12，
∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6，
∴B'B=6，
故选D．
典例2 （2017春 赣州市期末）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】D
【解析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．
故选：D．
典例3 （2017春 甘井子区期中）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接AA'若∠1＝20°，则∠B的度数是( )
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】B
【解析】根据旋转图形可以得到△ACA′为等腰直角三角形，根据∠1的度数可以求出∠CA′B′=25°，从而得到∠CAB=25°，所以∠B=90°－25°=65°
知识点三：旋转作图
旋转的特征：
Ø 对应点到旋转中心的距离相等；
Ø 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
Ø 旋转前、后的图形全等.
旋转作图的步骤：
Ø 确定旋转中心、旋转方向、旋转角；
Ø 找出图形上的关键点；
Ø 连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点；
Ø 按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形.
典例1 （2019春 厦门市期末）如图，在方格纸中每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在小方格的顶点上。
（1）在图中作出将向下平移个单位后的图形：
（2）在图中作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形.
【答案】见解析.
【详解】解：（1）如图的即为所求；（2）如图的即为所求.
巩固训练
一、单选题（共10小题）
1．（2018春 张家口市期末）如图，在△ABC中，∠CAB=65∘，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC'//AB，则旋转角的度数为( )
A．35∘ B．40∘ C．50∘ D．65∘
【答案】C
【解析】详解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°
故选C.
2．（2018春 迎泽区期中）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（ ）
A.AD=BD B.AC∥BD C.DF=EF D.∠CBD=∠E
【答案】C
【详解】由旋转知∠BAD=∠CAE=60°、AB=AD，△ABC≌△ADE，
∴∠C=∠E，△ABD是等边三角形，∠CAD=60°，
∴∠D=∠CAD=60°、AD=BD，
∴AC∥BD，
∴∠CBD=∠C，
∴∠CBD=∠E，
则A、B、D均正确，
故选C．
【名师点睛】
本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质及平行线的判定与性质．
3．（2017春 兰州市期中）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．65°
【答案】C
【解析】试题解析：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×75°=30°，
∴∠CAC′=∠BAB′=30°
故选A．
4．（2019春 阳西县期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠ACD=90°-20°=70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC=180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，
∴∠ADC=∠E+20°，
∵∠ACE=90°，AC=CE
∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
即45°+70°+∠ADC=180°，
解得：∠ADC=65°，
故选C．
【名师点睛】
此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
5．（2018春 广州市期末）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为AB的中点，将△ADE绕点D沿逆时针方向旋转后得到△DCF，连接EF，则EF的长为（ ）
A．23 B．25 C．26 D．210
【答案】D
【详解】∵E为AB的中点，AB=4，∴AE=2，
∴DE=AE2+AD2=25．
∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠ADC=90°，∴∠ADE+∠EDC=90°．
∵△ADE绕点D沿逆时针方向旋转后得到△DCF，∴∠ADE=∠CDF，DE=DF，∴∠CDF+∠EDC=90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF=2DE=210．
故选D．
【名师点睛】
本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质一勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．（2018春 西安市期末）如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )
A．68° B．20° C．28° D．22°
【答案】D
【解析】试题解析：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，
∵∠2=∠1=112°，
而∠ABD=∠D′=90°，
∴∠3=180°-∠2=68°，
∴∠BAB′=90°-68°=22°，
即∠α=22°．
故选D．
7．（2017春 武汉市期末）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）.
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【解析】试题分析：先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA=÷2=25°．
故选：C．
8．（2018春 汕头市期末）正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（ ）
A．36° B．54° C．72° D．108°
【答案】C
【解析】正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是3605=72度，
故选C．
9．（2018春 南开区期中）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为（ ）
A．70° B．80° C．84° D．86°
【答案】B
【解析】由旋转的性质可知：∠B=∠AB1C1，AB=AB1，∠BAB1=100°，
∵AB=AB1，∠BAB1=100°，
∴∠B=∠BB1A=40°，
∴∠AB1C1=40°，
∴∠BB1C1=∠BB1A+∠AB1C1=40°+40°=80°，
故选B．
【名师点睛】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△ABB1为等腰三角形是解题的关键．
10．（2018春 衡水市期末）将△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解：观察选项中的图形，只有D选项为△ABO绕O点旋转了180°.
【名师点睛】
本题考察了旋转的定义.
二、填空题（共5小题）
11．（2018春 武汉市期末）如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____．
【答案】32
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，
∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，
∴EF=BC=3，AE=AB，
∵DE=EF，
∴AD=DE=3，
∴AE=AD2+DE2=32，
∴AB=32，
故答案为：32.
【名师点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.
12．（2018春 朝阳市期中）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘，得到△DEC，连接AD，若∠BAC=25∘，则∠BAD=______．
【答案】70∘
【详解】∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，
∴AC=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°，
故答案为：70°∘．
【名师点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质并准确识图是解题的关键.
13．（2018春 西青区期中）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是_____．
【答案】65°
【详解】∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴BC=B′C，
∴△BCB′是等腰直角三角形，
∴∠CBB′=45°，
∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°，
由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°，
故答案为：65°．
【名师点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
14．（2018春 眉山市期末）如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为______．
【答案】2+34．
【解析】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，∵D'C=4，∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，∵DE∥AC，∴ BDBA=BEBC，即BC-46=5BC，解得BC=2+34（负值已舍去），即BC的长为2+34．故答案为： 2+34．
15．（2017春 沈河区期末）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=_____度．
【答案】30°
【详解】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后，得到△COD，
∴∠BOD=45°，
又∵∠AOB=15°，
∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=45°－15°=30°.
故答案为：30°.
三、解答题（共2小题）
16．（2017春 鼓楼区期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=45，CD=8．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】(1) 150°；(2)43+16
【解析】试题解析：（1）连接BD，
∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，DB=4，
∵42+82=（4）2，∴DB2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=60°+90°=150°；
（2）过B作BE⊥AD，∵∠A=60°，AB=4，∴BE=AB•sin60°=4×32=23，
∴四边形ABCD的面积为：12AD•EB+12DB•CD=12×4×23+12×4×8=43+16．
17．（2019春 呼兰区期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=42+12=17，A1B=52+32=34，
即OB2+OA12=A1B2，
所以三角形的形状为等腰直角三角形．
【名师点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
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