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二次函数图像和性质
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重难突破
知识点一 二次函数的概念
概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a ， b ， c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
注意：二次项系数a≠0，而b ， c可以为零．
二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
⑵ a ， b ， c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
典例1 （2018春 金华区期末）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=x（x+1） B．x2y=1
C．y=2x2-2（x-1）2 D．y=x—0.5
【答案】A
【详解】A、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；
B、整理后：y=1x2，不符合二次函数形式，故本选项错误；
C、整理后，该函数的自变量的最高次数是1，属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数属于一次函数，故本选项错误.
故选A．
典例2二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________．
【答案】﹣5、3、1
【详解】解：二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为-5、3、1．
故答案为：-5、3、1．
典例3 （2018春 门头沟区）已知函数 为二次函数，求m的值．
【答案】m=﹣1
【分析】根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题．
【详解】解：由题意：m-1≠0m2+1=2，解得m=-1，
∴m=-1时，函数为二次函数．
知识点2：二次函数的图象和性质（重点）
二次函数的基本表现形式：
①y=ax2；②y=ax2+k；③y=ax-h2；④y=ax-h2+k；⑤y=ax2+bx+c.
第一种：二次函数y=ax2的性质（最基础）
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
0 ， 0
y轴
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0．
a<0
向下
0 ， 0
y轴
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0．
第二种：二次函数y=ax2+c的性质
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
0 ， c
y轴
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c．
a<0
向下
0 ， c
y轴
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c．
第三种：二次函数y=ax-h2的性质
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
h ， 0
X=h
x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0．
a<0
向下
h ， 0
X=h
x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0．
第四种：二次函数y=ax-h2+k的性质
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
h ， k
X=h
x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k．
a<0
向下
h ， k
X=h
x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k．
二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：
y=ax-h2+k的形式，其中h=-b2a，k=4ac-b24a.
典例1 （2019春 南通市期末）二次函数y＝﹣2x2﹣1图象的顶点坐标为（ ）
A.（0，0） B.（0，﹣1） C.（﹣2，﹣1） D.（﹣2，1）
【答案】B
【详解】解：∵y=-2x2-1 ,
∴其图象关于y轴对称，
∴其顶点在y轴上，
当x=0时，y=-1，
所以顶点坐标为（0，﹣1），
故选择：B.
典例2 （2018春 松江区期末）关于二次函数y=x+22的图像，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．最低点是
C．对称轴是直线x=2 D．对称轴的右侧部分是上升的
【答案】D
【详解】对于二次函数y=x+22的图像，
∵a=1＞0，所以开口向上，故A错误；
最低点是（-2,0），故B错误；
对称轴是直线x=-2，故C错误；
对称轴的右侧部分，y随x的增大而增大，∴是上升的，D正确；
故选D.
典例3 （2019春 溪湖区期末）抛物线y=-2(x-3)2顶点坐标是
A．2,-3 B．3,0
C．-2,-3 D．-3,0
【答案】B
【详解】∵y=-2(x-3)2为抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为3,0.
故选：B．
知识点三 二次函数图象的平移
平移步骤：
Ø 将抛物线解析式转化成顶点式y=ax-h2+k，确定其顶点坐标h ， k；
Ø 保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到h ， k处，具体平移方法如下：
平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
【概括】左加右减，上加下减
典例1 （2019春 沙雅县期中）函数y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y=﹣2（x﹣1）2+2 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y=﹣2（x+1）2+2 D．y=﹣2（x+1）2﹣2
【答案】B
【详解】解：函数y=﹣2x2先向右平移1个单位可得到：y=﹣2(x-1)2，再向下平移2个单位可得到：y=﹣2(x-1)2-2，故答案选择B.
典例2 （2019春 福州市期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为( )
A．y=-2(x+1)2+2 B．y=-2(x+1)2-2
C．y=-2(x-1)2+2 D． y=-2(x-1)2-2
【答案】A
【详解】将抛物线y＝﹣2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为y=-2(x+1)2+3-1=-2(x+1)2+2
故选A.
知识点四 抛物线y=ax2+bx+c扩展
抛物线y=ax2+bx+c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）
n 公式法：y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac-b24a，
∴顶点是（-b2a，4ac-b24a），对称轴是直线x=-b2a.
n 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=ax-h2+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h.
【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
典例1（2018春 梧州市期末）关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴是直线
C．若，则随的增大而增大 D．当时，
【答案】D
【详解】解：由抛物线y=-2x-3=（x-1）2-4，可知，
顶点坐标为（1，-4），
对称轴为x=1，
x＞1时y随x增大而增大，
抛物线开口向上，
∴A、B、C判断正确；
y=0时， （x-1）2-4=0，解得 ，
∴抛物线与x轴的交点是（-1,0）和（3,0），
∵抛物线开口向上，
∴当-1<x<3时，y<0，
∴ D错误.
故选：D．
知识点五 抛物线y=ax2+bx+c中，a,b,c与函数图像的关系（灵活掌握）
n 二次项系数a
二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0．
⑴ 当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑶ 当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
【总结起来】a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．
n 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在a>0的前提下，
当b>0时，-b2a<0，即抛物线的对称轴在y轴左侧（a、b同号）；
当b=0时，-b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b<0时，-b2a>0，即抛物线对称轴在y轴的右侧（a、b异号）．
⑵ 在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b>0时，-b2a>0，即抛物线的对称轴在y轴右侧（a、b异号）；
当b=0时，-b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b<0时，-b2a<0，即抛物线对称轴在y轴的左侧（a、b同号）．
【总结起来】在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
n 常数项c
⑴ 当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
⑶ 当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．
【总结起来】c决定了抛物线与y轴交点的位置．
总之，只要a ， b ， c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
典例1 （2018春 江津市期末）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，则一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确，
典例2 （2019春 福州市期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解：A、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意；
B、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向上，对称轴x=-b2a＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确；
C、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=-b2a＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意；
D、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意．
故选：B．
巩固训练
一、选择题（共10小题）
1．（2018春 桥西区期中）如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
详解：
A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣-22a＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣-22a＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选B．
2．（2018春 崂山区期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】A
【详解】①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴x=-b2a=1,
∴2a+b=0；故正确；
③∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当m=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：A．
【名师点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握
①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
3．（2018春 仙桃市期中）将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+2）2﹣5 B．y=（x+2）2+5
C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2+5
【答案】A
【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．
故选：A．
【名师点睛】
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．
4．（2018秋 云岗区期末）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-2
【答案】C
【详解】由图可知，函数图象开口向下，
∴a＜0，
又∵函数图象经过坐标原点（0，0），
∴a2-2=0，
解得a1=2（舍去），a2=-2，
故选C．
【名师点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a是负数且经过坐标原点是解题的关键．
5．（2019春 重庆市期中）关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是（ ）
A．图像与y轴的交点坐标为0,1 B．图像的对称轴在y轴的右侧
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为-3
【答案】D
【解析】详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选D．
6．（2018春 保德县期末）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
【答案】A
【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-2a2a=-1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜-4或x＞2时，y＜0．
故选A．
【名师点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
7．（2018春 宿州市期末）如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，有下列5个结论 ①abc>0；②b-a>c；③4a+2b+c>0；④3a>-c；⑤a+b>mam+b(m≠1的实数).其中正确结论的有
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】B
【详解】①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab<0，
由图象可知：c>0，
∴abc<0，故①不正确；
②当x=-1时，y=a-b+c<0，
∴b-a>c，故②正确；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c>0，故③正确；
④∵x=-b2a=1，
∴b=-2a，
∵a-b+c<0，
∴a+2a+c<0，
3a<-c，故④不正确；
⑤当x=1时，y的值最大.此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c>am2+bm+cm≠1，
故a+b>am2+bm，即a+b>mam+b，故⑤正确，
故②③⑤正确，
故选B．
【名师点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
8．（2018春 任丘市期中）抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
【答案】D
【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．
故选：D．
9．（2019春 德州市期中）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
【答案】C
【详解】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵﹣b2a=12，∴抛物线的对称轴为直线x=12，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=12，
∴当x＞12时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，
故选C．
【名师点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=-b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.
10．（2016春 集宁区期末）当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵ab＞0，∴a、b同号．当a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；
当a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B图象符合要求．
故选B．
二、填空题（共5小题）
11．（2018春 宁津县期末）抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．
【答案】－3＜x＜1
【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．
解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
12．（2019春 厦门市期中）已知关于x的二次函数y=(x-h)2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为___________．
【答案】32或6
【详解】∵y=x-h2+3中a=1>0，
∴当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大；
①若1≤h≤3，
则当x=h时，函数取得最小值3，
即2h=3，
解得：h=32；
②若h<1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h，
即1-h2+3=2h，
解得：h=2；(舍去)
③若h>3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，
即3-h2+3=2h，
解得：h=6,h=2(舍去)；
故答案为: 32或6.
【名师点睛】
本题考查二次函数的图像和性质，因为对称轴的位置不确定，所以分类讨论.
13．（2018春 张店区期末）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．
【答案】(－2，0)
【解析】由C(0,c),D(m,c),得函数图象的对称轴是x=m2 ，
设A点坐标为(x,0),由A. B关于对称轴x=m2对称得x+m+22=m2 ，
解得x=−2，
即A点坐标为(−2,0)，
故答案为：(−2,0).
14．（2019春 江汉区期中）点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y=2x2﹣4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是_____．
【答案】y2＜y3＜y1
【详解】∵y=2x2-4x+c，
∴当x=-3时，y1=2×（-3）2-4×（-3）+c=30+c，
当x=2时，y2=2×22-4×2+c=c，
当x=3时，y3=2×32-4×3+c=6+c，
∵c＜6+c＜30+c，
∴y2＜y3＜y1，
故答案为：y2＜y3＜y1．
【名师点睛】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
15．（2018春 西青区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：
①abc＜0；
②b＜a﹣c；
③4a+2b+c＞0；
④2c＜3b；
⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）
⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．
【答案】①③④⑥
【详解】解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a<0.
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b>0；
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，
∴abc<0；
故①正确；
②∵a<0，c>0，∴a−c<0，
∵b>0，∴b>a−c，
故②错误；
③根据抛物线的对称性知，当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0；故③正确；
④∵对称轴方程x=−b2a=1，∴b=−2a，∴a=−12b，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，∴−32b+c<0，
∴2c<3b，
故④正确；
⑤∵x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又x=1时函数取得最大值，
∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm=m(am+b)，
故⑤错误；
⑥∵b=−2a，∴2a+b=0，
∵c>0，
∴2a+b+c>0，
故⑥正确.
综上所述，其中正确的结论的有：①③④⑥.
故答案为：①③④⑥.
【名师点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系.
三、解答题（共2小题）
16．（2018春 蜀山区期中）已知二次函数y=ax2＋bx的图象经过点(2，0)和(－1，6).
（1）求二次函数的解析式；
（2）求它的对称轴和顶点坐标.
【答案】（1）y=2x2-4x（2）对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，－2）.
【详解】（1）∵二次函数y=ax2＋bx的图象经过点(2，0)和(－1，6)，
得：4a+2b=0a-b=6，
解得：a=2b=-4.
∴二次函数的解析式为：y=2x2-4x．
（2）原函数可化为：y=2(x﹣1)2﹣2，
则对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－2）.
17．（2018春 西湖区期中）已知y=k+2xk2+k-4 是二次函数，且函数图象有最高点．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
【答案】（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
【解析】解：（1）∵y=k+2xk2+k-4是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3；
（2）当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
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