2019_2020学年九年级数学上册期末考点大串讲二次函数图象和性质含解析新版新人教版.docx

18二次函数图像和性质知识网络重难突破知识点一 二次函数的概念概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。注意：二次项系数a0，而b，c可以为零 二次函数y=ax2+bx+c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2 a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项典例1 （2018春 金华区期末）下列函数是二次函数的是（ ）Ay=x（x+1）Bx2y=1Cy=2x2-2（x-1）2Dy=x0.5【答案】A【详解】A、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；B、整理后：y=1x2，不符合二次函数形式，故本选项错误；C、整理后，该函数的自变量的最高次数是1，属于一次函数，故本选项错误；D、该函数属于一次函数，故本选项错误.故选A典例2二次函数y=3x5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为_【答案】5、3、1【详解】解：二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为-5、3、1故答案为：-5、3、1典例3 （2018春 门头沟区）已知函数 为二次函数，求m的值【答案】m=1【分析】根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题【详解】解：由题意：m-10m2+1=2，解得m=-1，m=-1时，函数为二次函数知识点2：二次函数的图象和性质（重点）二次函数的基本表现形式：y=ax2；y=ax2+k；y=ax-h2；y=ax-h2+k；y=ax2+bx+c.第一种：二次函数y=ax2的性质（最基础）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0，0y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0a0时，y随x的增大而减小；x0向上0，cy轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值ca0时，y随x的增大而减小；x0向上h，0X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0ah时，y随x的增大而减小；x0向上h，kX=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值kah时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=ax-h2+k的形式，其中h=-b2a，k=4ac-b24a.典例1 （2019春 南通市期末）二次函数y2x21图象的顶点坐标为（）A.（0，0）B.（0，1）C.（2，1）D.（2，1）【答案】B【详解】解：y=-2x2-1 ,其图象关于y轴对称，其顶点在y轴上，当x=0时，y=-1，所以顶点坐标为（0，1），故选择：B.典例2 （2018春 松江区期末）关于二次函数y=x+22的图像，下列说法正确的是（ ）A开口向下B最低点是C对称轴是直线x=2D对称轴的右侧部分是上升的【答案】D【详解】对于二次函数y=x+22的图像，a=10，所以开口向上，故A错误；最低点是（-2,0），故B错误；对称轴是直线x=-2，故C错误；对称轴的右侧部分，y随x的增大而增大，是上升的，D正确；故选D.典例3 （2019春 溪湖区期末）抛物线y=-2(x-3)2顶点坐标是A2,-3B3,0C-2,-3D-3,0【答案】B【详解】y=-2(x-3)2为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为3,0.故选：B知识点三 二次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式y=ax-h2+k，确定其顶点坐标h，k； 保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”【概括】左加右减，上加下减典例1 （2019春 沙雅县期中）函数y=2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）Ay=2（x1）2+2By=2（x1）22Cy=2（x+1）2+2Dy=2（x+1）22【答案】B【详解】解：函数y=2x2先向右平移1个单位可得到：y=2(x-1)2，再向下平移2个单位可得到：y=2(x-1)2-2，故答案选择B.典例2 （2019春 福州市期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为( )Ay=-2(x+1)2+2By=-2(x+1)2-2Cy=-2(x-1)2+2D y=-2(x-1)2-2【答案】A【详解】将抛物线y2x2+3向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为y=-2(x+1)2+3-1=-2(x+1)2+2故选A.知识点四 抛物线y=ax2+bx+c扩展抛物线y=ax2+bx+c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）n 公式法：y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac-b24a，顶点是（-b2a，4ac-b24a），对称轴是直线x=-b2a.n 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=ax-h2+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h.【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.典例1（2018春 梧州市期末）关于抛物线，下列说法错误的是（ ）A顶点坐标为B对称轴是直线C若，则随的增大而增大D当时，【答案】D【详解】解：由抛物线y=-2x-3=（x-1）2-4，可知，顶点坐标为（1，-4），对称轴为x=1，x1时y随x增大而增大，抛物线开口向上，A、B、C判断正确；y=0时， （x-1）2-4=0，解得 ，抛物线与x轴的交点是（-1,0）和（3,0），抛物线开口向上，当-1x3时，y0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a0的前提下，当b0时，-b2a0，即抛物线的对称轴在y轴左侧（a、b同号）；当b=0时，-b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；当b0，即抛物线对称轴在y轴的右侧（a、b异号） 在a0时，-b2a0，即抛物线的对称轴在y轴右侧（a、b异号）；当b=0时，-b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；当b0时，-b2a0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负【总结起来】c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的典例1 （2018春 江津市期末）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（）ABCD【答案】C解：x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a0，则一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确，典例2 （2019春 福州市期末）在同一平面直角坐标系中，函数yax2+bx与ybx+a的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B【详解】解：A、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以判断，a0，b0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意； B、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以判断，a0，b0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向上，对称轴x=-b2a0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确；C、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以判断，a0，b0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=-b2a0，应位于y轴的左侧，故不合题意；D、对于直线y=-bx+a来说，由图象可以判断，a0，b0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意故选：B巩固训练一、选择题（共10小题）1（2018春 桥西区期中）如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A B C D【答案】B【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可详解：A由一次函数y=axa的图象可得：a0，此时二次函数y=ax22x+1的图象应该开口向下故选项错误；B由一次函数y=axa的图象可得：a0，此时二次函数y=ax22x+1的图象应该开口向上，对称轴x=-22a0故选项正确；C由一次函数y=axa的图象可得：a0，此时二次函数y=ax22x+1的图象应该开口向上，对称轴x=-22a0，和x轴的正半轴相交故选项错误；D由一次函数y=axa的图象可得：a0，此时二次函数y=ax22x+1的图象应该开口向上故选项错误故选B2（2018春 崂山区期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1对于下列说法：ab0；2a+b=0；3a+c0；a+bm（am+b）（m为实数）；当1x3时，y0，其中正确的是（）ABCD【答案】A【详解】对称轴在y轴右侧，a、b异号，ab0，故正确；对称轴x=-b2a=1, 2a+b=0；故正确；2a+b=0，b=2a，当x=1时，y=ab+c0，a（2a）+c=3a+c0，故错误；根据图示知，当m=1时，有最大值；当m1时，有am2+bm+ca+b+c，所以a+bm（am+b）（m为实数）故正确如图，当1x3时，y不只是大于0故错误故选：A【名师点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）3（2018春 仙桃市期中）将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）Ay=（x+2）25 By=（x+2）2+5 Cy=（x2）25 Dy=（x2）2+5【答案】A【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（2，5），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）25故选：A【名师点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键4（2018秋 云岗区期末）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（ ）A1 B2 C-2 D-2【答案】C【详解】由图可知，函数图象开口向下，a0，又函数图象经过坐标原点（0，0），a2-2=0，解得a1=2（舍去），a2=-2，故选C【名师点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a是负数且经过坐标原点是解题的关键5（2019春 重庆市期中）关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是（ ）A图像与y轴的交点坐标为0,1 B图像的对称轴在y轴的右侧C当x0；b-ac；4a+2b+c0；3a-c；a+bmam+b(m1的实数).其中正确结论的有ABCD【答案】B【详解】对称轴在y轴的右侧，ab0，abc0，故不正确；当x=-1时，y=a-b+cc，故正确；由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c0，故正确；x=-b2a=1，b=-2a，a-b+c0，a+2a+c0，3aam2+bm+cm1，故a+bam2+bm，即a+bmam+b，故正确，故正确，故选B【名师点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键8（2018春 任丘市期中）抛物线y=（x2）21可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【答案】D【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x2）21的顶点为（2，1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x2）21的图象故选：D9（2019春 德州市期中）下列对二次函数y=x2x的图象的描述，正确的是（）A开口向下 B对称轴是y轴C经过原点 D在对称轴右侧部分是下降的【答案】C【详解】A、a=10，抛物线开口向上，选项A不正确；B、b2a=12，抛物线的对称轴为直线x=12，选项B不正确；C、当x=0时，y=x2x=0，抛物线经过原点，选项C正确；D、a0，抛物线的对称轴为直线x=12，当x12时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，故选C【名师点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a0），对称轴直线x=-b2a，当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.10（2016春 集宁区期末）当ab0时，yax2与yax+b的图象大致是（）ABCD【答案】D【详解】ab0，a、b同号当a0，b0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；当a0，b0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B图象符合要求故选B二、填空题（共5小题）11（2018春 宁津县期末）抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y0，则x的取值范围是_【答案】3x1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（3，0），结合图象求出y0时，x的范围解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（3，0），所以y0时，x的取值范围是3x1故答案为：3x112（2019春 厦门市期中）已知关于x的二次函数y=(x-h)2+3，当1x3时，函数有最小值2h，则h的值为_【答案】32或6【详解】y=x-h2+3中a=10，当xh时，y随x的增大而增大；若1h3，则当x=h时，函数取得最小值3，即2h=3，解得：h=32；若h3，则在1x3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，即3-h2+3=2h， 解得：h=6,h=2(舍去)；故答案为:32或6.【名师点睛】本题考查二次函数的图像和性质，因为对称轴的位置不确定，所以分类讨论.13（2018春 张店区期末）如图，抛物线yax2bxc与x轴相交于点A，B(m2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是_【答案】(2，0)【解析】由C(0,c),D(m,c),得函数图象的对称轴是x=m2 ，设A点坐标为(x,0),由A.B关于对称轴x=m2对称得x+m+22=m2 ，解得x=2，即A点坐标为(2,0)，故答案为：(2,0).14（2019春 江汉区期中）点A（3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y=2x24x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是_【答案】y2y3y1【详解】y=2x2-4x+c，当x=-3时，y1=2（-3）2-4（-3）+c=30+c，当x=2时，y2=222-42+c=c，当x=3时，y3=232-43+c=6+c，c6+c30+c，y2y3y1，故答案为：y2y3y1【名师点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键15（2018春 西青区期末）已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图，有下列6个结论：abc0；bac；4a+2b+c0；2c3b；a+bm（am+b），（m1的实数）2a+b+c0，其中正确的结论的有_【答案】【详解】解：该抛物线开口方向向下，a0；抛物线与y轴交于正半轴，c0，abc0；故正确；a0，ac0，bac，故错误；根据抛物线的对称性知，当x=2时，y0，即4a+2b+c0；故正确；对称轴方程x=b2a=1，b=2a，a=12b，当x=1时，y=ab+c0，32b+c0，2cam2+bm+c,即a+bam2+bm=m(am+b)，故错误；b=2a，2a+b=0，c0，2a+b+c0，故正确.综上所述，其中正确的结论的有：.故答案为：.【名师点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系.三、解答题（共2小题）16（2018春 蜀山区期中）已知二次函数y=ax2bx的图象经过点(2，0)和(1，6).（1）求二次函数的解析式；（2）求它的对称轴和顶点坐标.【答案】（1）y=2x2-4x（2）对称轴为x1，顶点坐标为（1，2）.【详解】（1）二次函数y=ax2bx的图象经过点(2，0)和(1，6)，得：4a+2b=0a-b=6，解得：a=2b=-4.二次函数的解析式为：y=2x2-4x（2）原函数可化为：y=2(x1)22，则对称轴为直线x1，顶点坐标为（1，2）.17（2018春 西湖区期中）已知y=k+2xk2+k-4 是二次函数，且函数图象有最高点（1）求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少【答案】（1）k=3；（2）当k=3时，y=x2顶点坐标（0，0），对称轴为y轴，当x0时，y随x的增大而减少【解析】解：（1）y=k+2xk2+k-4是二次函数，k2+k4=2且k+20，解得k=3或k=2函数有最高点，抛物线的开口向下，k+20，解得k2，k=3；（2）当k=3时，二次函数为y=x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x0时，y随x的增大而减少