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第六章 实数单元测试基础卷试题

一、选择题
1．下列说法错误的是（　　）
A．a2与（﹣a）2相等 B．与互为相反数
C．与互为相反数 D．|a|与|﹣a|互为相反数
2．已知x、y为实数，且+（y﹣3）2＝0．若axy﹣3x＝y，则实数a的值是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．对于实数，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．我们可以对一个数连续求根整数，如对连续两次求根整数：．若对连续求两次根整数后的结果为，则满足条件的整数的最大值为( )
A． B． C． D．
4．在下列各数 （两个1之间，依次增加1个0），其中无理数有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
5．是（　　）
A．负有理数 B．正有理数 C．自然数 D．无理数
6．下列数中π、，﹣，，3.1416，3.2121121112…（每两个2之间多一个1），中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若|x-2|+=0，则xy的值为（　　）
A．8 B．2 C．-6 D．±2
8．下列命题中，是真命题的有（　　）
①两条直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行；
②立方根等于它本身的数只有0；
③两条边分别平行的两个角相等；
④互为邻补角的两个角的平分线互相垂直
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．若=0，则a+b的值为(　　)
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
10．下列说法中不正确的是(　　)
A．是2的平方根 B．是2的平方根
C．2的平方根是 D．2的算术平方根是
二、填空题
11．一个数的平方为16，这个数是 ．
12．写出一个3到4之间的无理数____．
13．对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，那么x＝_______.
14．规定运算：，其中为实数，则____
15．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数.
例如：，.
则下列结论：
①；
②；
若，则的取值范围是；
当时，的值为、、.
其中正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号）.
16．有若干个数，第1个数记作，第2个数记为，第3个数记为,……，第n个数记为，若=，从第2个数起，每个数都等于1与前面的那个数的差的倒数，则=_____．
17．规定用符号表示一个实数的整数部分，如，按此规定_____．
18．对于任意有理数a，b，定义新运算：a⊗b=a2﹣2b+1，则2⊗(﹣6)=____．
19．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，那么点对应的数是______．你的理由是______．

20．如图，数轴上的点能与实数对应的是_____________

三、解答题
21．阅读下面文字：
对于
可以如下计算：
原式

上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，计算：
（1）
（2）
22．化简求值：
已知是的整数部分，，求的平方根．
已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．

23．定义☆运算：
观察下列运算：
（+3）☆（+15）＝ +18
（﹣14）☆（﹣7）＝ +21
（﹣2）☆（+14）＝﹣16
（+15）☆（﹣8）＝﹣23
0☆（﹣15）＝ +15
（+13）☆ 0＝ +13
（1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：
两数进行☆运算时，同号 ，异号 ．
特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算, ．
（2）计算：（﹣11）☆ [0☆（﹣12）]＝ ．
（3）若2×（﹣2☆a）﹣1＝8，求a的值．
24．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式 成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如：数对，，都是“共生有理数对”．
（1）判断下列数对是不是“共生有理数对”，（直接填“是”或“不是”）．
　　 ， 　　．
（2）若 是“共生有理数对”，求的值；
（3）若是“共生有理数对”，则必是“共生有理数对”．请说明理由；
（4）请再写出一对符合条件的 “共生有理数对”为 　　（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）．
25．阅读下列材料：

由以上三个等式相加，可得
读完以上材料，请你计算下列各题．
（1）求1×2+2×3+3×4+…+10×11的值．
（2）1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1）=___________．
26．如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．

（1）点A的坐标为________；点C的坐标为________．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．

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一、选择题

1．D
解析：D
【分析】
利用平方运算，立方根的化简和绝对值的意义，逐项判断得结论．
【详解】
∵（﹣a）2＝a2，
∴选项A说法正确；
∵＝﹣a，＝a，
∴与互为相反数，故选项B说法正确；
∵＝﹣，
∴与互为相反数，故选项C说法正确；
∵|a|＝|﹣a|，
∴选项D说法错误．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了绝对值的意义，平方运算及立方根的化简．掌握立方根的化简和绝对值的意义是解决本题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
首先根据可得：，据此求出x、y的值，然后把求出的x、y的值代入axy-3x=y，求出实数a的值即可．
【详解】
解：∵，
∴，
解得，
∵axy-3x=y，
∴a(﹣)·3-3×(﹣)＝3，
∴﹣4a+4＝3，
解得a＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了算数平方根平方数的非负性，利用非负数性质求x、y的值是解决问题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
对各选项中的数分别连续求根整数即可判断得出答案．
【详解】
解：当x=5时，，满足条件；
当x=10时，，满足条件；
当x=15时，，满足条件；
当x=16时，，不满足条件；
∴满足条件的整数的最大值为15，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了无理数估算的应用，主要考查学生的阅读能力和理解能力，解题的关键是读懂题意．
4．D
解析：D
【分析】
由于无理数就是无限不循环小数，由此即可判定选择项．
【详解】
在下列各数（两个1之间，依次增加1个0），其中有理数有：
无理数有，π，0.1010010001……共3个．
故选：D．
【点睛】
此题考查无理数的定义．解题关键在于掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据有理数和无理数的定义及分类作答．
【详解】
∵是整数，整数是有理数，
∴D错误；
∵小于0，正有理数大于0，自然数不小于0，
∴B、C错误；
∴是负有理数，A正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了有理数和实数的定义及分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据无理数的概念解答即可.
【详解】
解:在π、，﹣，，3.1416，3.2121121112…（每两个2之间多一个1），中,无理数是: π，﹣，3.2121121112…（每两个2之间多一个1），共3个，
故选C.
【点睛】
本题考查了无理数的定义.注意带根号的数与无理数的区别:带根号的数不一定是无理数,带根号且开方开不尽的数一定是无理数.本题中=7是有理数中的整数.
7．C
解析：C
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
根据题意得：，
解得：，
则xy=-6．
故选：C．
【点睛】
此题考查绝对值和偶次方非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．D
解析：D
【分析】
利用平行线的性质、立方根及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行，故错误，是假命题；
②立方根等于它本身的数有0，±1，故错误，是假命题；
③两条边分别平行的两个角相等或互补，故错误，是假命题；
④互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，正确，是真命题，
真命题有1个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、立方根及互补的定义等知识，难度不大．
9．D
解析：D
【分析】
根据绝对值与算术平方根的非负性，列出关于a、b的方程组，解之即可．
【详解】
∵=0，
∴2a+b＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣2，b＝4，
∴a+b＝2，
故选D．
【点睛】
本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，正确列出方程是解题的关键．
10．C
解析：C
【详解】
解：A. -是2的平方根，正确；
B. 是2的平方根，正确；
C. 2的平方根是±，故原选项不正确；
D. 2的算术平方根是，正确．
故选C．
二、填空题

11．【详解】
解：这个数是
解析：
【详解】
解：这个数是
12．π（答案不唯一）．
【解析】
考点：估算无理数的大小．
分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解．
解：3到4之间的无理数π．
答案不唯一．
解析：π（答案不唯一）．
【解析】
考点：估算无理数的大小．
分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解．
解：3到4之间的无理数π．
答案不唯一．
13．或
【解析】
【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.
【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1
解析：或
【解析】
【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.
【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1，
∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，
∴有如下三种情况：
①2x+1=2，x=，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，，}=2，成立；
②2x+1=-x+3，x=，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，，}=2，不成立；
③2x+1=5x，x=，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，，}=，成立，
∴x=或，
故答案为或.
【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．
14．4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
【详解】

=
=
=4
故答案为4．
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键
解析：4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
【详解】

=
=
=4
故答案为4．
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键．
15．①③.
【分析】
根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．
【详解】
由题意可知[-2.1]=-3,[1]=1,-3+1=-2，故①正确；
②中，当x取小数时，显然不成立，例如x取2.6，[x]
解析：①③.
【分析】
根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．
【详解】
由题意可知[-2.1]=-3,[1]=1,-3+1=-2，故①正确；
②中，当x取小数时，显然不成立，例如x取2.6，[x]+[-x]=2-3=-1,故②错误；
③中，若[x+1]=3,则x+1要满足x+1≥3,且x+1<4,解得x≥2,且x<3,故③正确；
④中，当-1≤x<1时，在取值范围内验证此式的值为1,2.故④错误；
所以正确的结论是①③.
16．-2
【分析】
根据1与它前面的那个数的差的倒数，即，即可求得、、……，然后根据得到结果出现的规律，即可确定．
【详解】
解：=

……
所以数列以，，三个数循环，

所以==
故答案为：．
【
解析：-2
【分析】
根据1与它前面的那个数的差的倒数，即，即可求得、、……，然后根据得到结果出现的规律，即可确定．
【详解】
解：=

……
所以数列以，，三个数循环，

所以==
故答案为：．
【点睛】
通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
17．-3
【分析】
先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．
【详解】
解：∵3＜＜4
∴-3＜＜-2
∴-3
故答案为-3．
【点睛】
本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本
解析：-3
【分析】
先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．
【详解】
解：∵3＜＜4
∴-3＜＜-2
∴-3
故答案为-3．
【点睛】
本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本题的关键．
18．【分析】
根据公式代入计算即可得到答案.
【详解】
∵a⊗b=a2﹣2b+1，
∴2⊗(﹣6)=22﹣2×(﹣6)+1=4+12+1=17.
故答案为：17.
【点睛】
此题考查新定义计算公式，正
解析：【分析】
根据公式代入计算即可得到答案.
【详解】
∵a⊗b=a2﹣2b+1，
∴2⊗(﹣6)=22﹣2×(﹣6)+1=4+12+1=17.
故答案为：17.
【点睛】
此题考查新定义计算公式，正确理解公式并正确计算是解题的关键.
19．π 圆的周长=π•d=1×π=π
【分析】
直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．
【详解】
因为圆的周长为π
解析：π 圆的周长=π•d=1×π=π
【分析】
直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．
【详解】
因为圆的周长为π•d=1×π=π，
所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO'=π．
故答案为：π，圆的周长=π•d=1×π=π.
【点睛】
此题考查实数与数轴，解题关键在于注意：确定点O′的符号后，点O′所表示的数是距离原点的距离．
20．【分析】
先把数轴的原点找出来，再找出数轴的正方向，分析A点位置附近的点和实数，即可得到答案.
【详解】
解：∵数轴的正方向向右，A点在原点的左边，
∴A为负数，
从数轴可以看出，A点在和之间，
解析：
【分析】
先把数轴的原点找出来，再找出数轴的正方向，分析A点位置附近的点和实数，即可得到答案.
【详解】
解：∵数轴的正方向向右，A点在原点的左边，
∴A为负数，
从数轴可以看出，A点在和之间，
，故不是答案；
刚好在和之间，故是答案；
，故不是答案；
是正数，故不是答案；
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了数轴的基本概念、实数的比较大小，要掌握能从数轴上已标出的点得到有用的信息，学会实数的比较大小是解题的关键.
三、解答题

21．（1）（2）
【分析】
（1）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答；
（2）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答.
【详解】
（1）

（2）原式

【点睛】
此题考察新计算方法，正确理解题意是解题的关键，根据例子即可仿照计算.
22．（1）±3；（2）2a+b﹣1.
【解析】
分析：（1）由于3＜＜4，由此可得的整数部分a的值；由于=3，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求得平方根．
（2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简求出即可．
详解：（1）∵3＜＜4，∴a=3．
∵=3，∴b=9，∴==9，∴的平方根是±3；
（2）由数轴可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，则a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，则+2﹣|a﹣b|
=a+1+2（b﹣1）+（a﹣b）
=a+1+2b﹣2+a﹣b
=2a+b﹣1．
点睛：本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
23．（1）得正，再把绝对值相加；得负，再把绝对值相加；等于这个数的绝对值；（2）-23；（3）a=-
【分析】
（1）通过观察表中各算式，然后从两数的符号关系或是否有0出发归纳出☆运算的法则；
（2）根据（1）归纳的☆运算的法则进行计算，注意先算括号内的，再与括号外的计算；
（3）根据（1）归纳出的运算法则对a的取值进行分类讨论即可得到答案．
【详解】
(1)由表中各算式，可以得到：同号得正，再把绝对值相加； 异号得负，再把绝对值相加；特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算,结果等于这个数的绝对值；
（2）由（1）归纳的☆运算的法则可得：
原式=（﹣11）☆|-12|=（﹣11）☆12= -（|（﹣11）|+|12|）= -23；
（3）①当a=0时，左边=，右边=8，两边不相等，∴a≠0；
②当a>0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×[-（2+a）]﹣1＝8,可解得（舍去），
③当a<0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×（|﹣2|+|a|）﹣1＝8，可解得a=，
综上所述：a=-．
【点睛】
本题考查新定义的实数运算，通过观察实例归纳出运算规律是解题关键．
24．（1）不是；是；（2）a=；（3）见解析；（4）（4，）或（6，）
【分析】
（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；
（2）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；
（3）根据“共生有理数对”的定义即可判断；
（4）根据“共生有理数对”的定义即可解决问题；
【详解】
解：（1）-2-1=-3，-2×1+1=1，
∴-2-1≠-2×1+1，
∴（-2，1）不是“共生有理数对”，
∵3-=，3×+1=，
∴3-=3×+1，
∴（3， ）是“共生有理数对”；
故答案为：不是；是；
（2）由题意得：
a- =，
解得a=．
（3）是．
理由：-n-（-m）=-n+m，
-n•（-m）+1=mn+1
∵（m，n）是“共生有理数对”
∴m-n=mn+1
∴-n+m=mn+1
∴（-n，-m）是“共生有理数对”，
（4）；
∴（4，）或（6，）等．
故答案为：是，（4，）或（6，）
【点睛】
本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（1）；（2）．
【分析】
通过几例研究n(n+1)数列前n项和，根据题目中的规律解得即可．
【详解】
．
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=+++…+
=．
（2）1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1）
=+++…+

=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查数字规律问题，读懂题中的解答规律，掌握部分探究的经验，用题中规律进行计算是关键．
26．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由见解析．
【分析】
（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；
（2）根据运动速度得到OQ=t，OP=8-2t，根据△ODP与△ODQ的面积相等列方程求解即可；
（3）由∠AOC=90°，y轴平分∠GOD证得OG∥AC，过点H作HF∥OG交x轴于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.
【详解】
（1）∵，
∴a-b+2=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
∴A（0，6），C（8，0）；
故答案为：（0，6），（8，0）；
（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），
∴OA=6，OB=8，
由运动知，OQ=t，PC=2t，
∴OP=8-2t，
∵D（4，3），
∴，
，
∵△ODP与△ODQ的面积相等，
∴2t=12-3t，
∴t=2.4，
∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；
（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，
∴∠OAC+∠ACO=90°.
又∵∠DOC=∠DCO，
∴∠OAC=∠AOD.
∵x轴平分∠GOD，
∴∠GOA=∠AOD.
∴∠GOA=∠OAC.
∴OG∥AC，
如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥AC，
∴∠FHC=∠ACE.
∵OG∥FH，
∴∠GOD=∠FHO，
∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，
即∠GOD+∠ACE=∠OHC，
∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．

【点睛】
此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.