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直线和圆的位置关系
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重难突破
知识点一 直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系
图形
定义
性质及判定
相离
直线与圆没有公共点
d>r⇔直线l与⊙O相离
相切
直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点
d=r⇔直线l与⊙O相切
相交
直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线
d<r⇔直线l与⊙O相交
典例1（2018·朝阳区期末）如图,以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆
C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆
【答案】B
【详解】∵PB⊥l于B，
∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切．
故选B．
【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
典例2（2018·无锡市期中）⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵⊙O的直径为10，
∴⊙O的半径为5，
圆心O到直线l的距离为3，
∵5>3，即：d<r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交.
故选：B.
【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是能熟练地运用直线与圆的位置关系的性质进行判断.
典例3（2019·中山市期末）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为(3，4)，半径为5，那么y轴与⊙P的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都不是
【答案】C
【详解】解：∵⊙P的圆心坐标为(3，4)，
∴⊙P到y轴的距离d为3
∵d＝3＜r＝5
∴y轴与⊙P相交
故选：C．
【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟练运用直线与与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键．
典例4（2013·贵州中考真题）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ）
A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【解析】试题分析：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；
由勾股定理，得：AB2=32+42=25，
∴AB=5；
又∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∴CD=R；
∵S△ABC=12AC•BC=12AB•r；
∴r=2.4cm，
故选B．
知识点二 切线的性质及判定
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
典例1（2019·辽宁中考真题）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A=25°，则∠C的度数是( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
【答案】D
【详解】解：如图：连接OB，
∵OB=OA，
∴∠A=∠OBA，
∵∠A=25°，
∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBC=90°，
∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°．
故选：D．
【名师点睛】本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出∠COB的度数，然后在三角形中求出∠C的度数．正确作出辅助线是解题的关键．
典例2（2019·福建中考真题）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
【答案】B
【详解】解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．
故选：B．
【名师点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
典例3（2018·周口市期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P=66°，则∠C=（ ）
A．57° B．60° C．63° D．66°
【答案】A
【详解】连接OA，OB．
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣66°=114°，由圆周角定理得：∠C=12∠AOB=57°．
故选A．
【名师点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
典例4（2019·洛阳市期末）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA=12，CD切⊙O于点E，交PA，PB于点C，D两点，则△PCD的周长是( )
A．12 B．18 C．24 D．30
【答案】C
【详解】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=12，AC=EC，BD=ED，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=12+12=24，
即△PCD的周长为24，
故选：C．
【名师点睛】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA=PB、AC=CE和BD=ED是解题的关键．
典例5（2017·南阳市期中）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
A.5 B.7 C.8 D.10
【答案】D
【详解】解:∵PA、PB为圆的两条相交切线,
∴PA=PB,
同理可得: CA=CE, DE=DB.
∴△PCD的周长=PC+CE+ED+PD,
∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA,
∴△PCD的周长=8,
故选C.
【名师点睛】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用.
知识点三 三角形内切圆
1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2、内心和外心的区别：
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
3、直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：（具体内容见文件夹中ppt）
典例1（2019·宁河区期末）在RtΔABC中，∠C=900，AB=6，ΔABC的内切圆半径为1，则ΔABC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【详解】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得12AC+BC-AB=1，
∴AC+BC=8．
则三角形的周长=8+6=14．
故选：B．
【名师点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟记直角三角形的内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解答此题的关键．
典例2（2019·广益市期末）如图，⊙O内切于ΔABC，切点分别为D,E,F。已知∠EDF=550,∠C=600，连接OE,OF,DE,DF，那么∠B等于（ ）
A．55° B．50° C．60° D．65°
【答案】B
【详解】解：∵E，F是圆的切点，
∴OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠AEO=∠AFO=90°，
∵∠EOF=2∠EDF=2×55°=110°，
∴∠A=180°-110°=70°，
∴∠B=180°-70°-60°=50°
故选择：B.
【名师点睛】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能求出∠B的度数是解此题的关键．
典例3（2019·云南中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A.4 B.6.25 C.7.5 D.9
【答案】A
【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
∴S四边形AEOF=r²，
连接AO，BO，CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴12(AB+AC+BC)r=12AB⋅AC，
∴r=2，
∴S四边形AEOF=r²=4，
故选A.
【名师点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.
巩固训练
一、单选题（共10小题）
1．（2018·新吴区期末）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定
【答案】B
【详解】过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，∴AM×BC=AC×AB，∴AM=3×45=125=2.4．
∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE∥BC，DE=12BC=2.5，∴AN=MN=12AM，∴MN=1.2．
∵以DE为直径的圆半径为1.25，∴r=1.25＞1.2，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．
故选B．
【名师点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理得出BC到圆心的距离与半径的大小关系是解题的关键．
2．（2019·高邮市期中）在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm，以点B为圆心，5cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线和⊙B的位置关系（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．都有可能
【答案】A
【详解】解：∵AB=13cm，BC=5cm，AC=12cm，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∴点B到直线AC的距离等于5cm，
而⊙B的半径为5cm，
∴边AC所在的直线与⊙B相切．
故答案为A．
【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
3．（2019·淮安区期末）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【答案】D
【解析】连接OD，∵CA，CD是⊙O的切线，∴OA⊥AC，OD⊥CD，∴∠OAC=∠ODC=90°，∵∠ACD=30°，∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°，∵OB=OD，∴∠DBA=∠ODB=∠AOD=75°．故选D．
4．（2018·齐齐哈尔市期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A.1 B.3 C.5 D.1或5
【答案】D
【详解】当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故选D．
【名师点睛】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．
5．（2018·南通市期中）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A.4.5 B.4 C.3 D.2
【答案】B
【详解】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选B．
【名师点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
6．（2018·襄樊市期中）如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，MN 经过点 O，与 AB、AC 相交于点 M、N，且 MN∥BC，那么下列说法中：①∠MOB＝∠MBO②△AMN 的周长等于 AB+AC；③∠A＝2∠BOC﹣180°；④连接 AO，则S△AOB：S△AOC：S△BOC＝AB：AC：BC；正确的有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：∵BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，∴∠ABO=∠CBO
∵MN∥BC，∴∠CBO=∠BOM，∴∠MOB＝∠MBO，故①正确；
∴BM=OM，同理CN=ON，∴△AMN 的周长等于 AB+AC，故②正确；
∵由ΔABC、ΔBOC内角和为180o
∴∠A+∠ABC+∠ACB=180o,即：∠A+2(∠OBC+∠OCB)=180o,
∴∠OBC+∠OCB+∠BOC=180o,即∠OBC+∠OCB=180o -∠BOC,
可得：∠A＝2∠BOC﹣180°，故③正确；
由题意得：点O为ΔABC的内心，设内切圆半径为r，可得S△AOB：S△AOC：S△BOC＝12×r×AB：12×r×AC：12×r×BC= AB：AC：BC，故④正确
故选D.
【名师点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质,三角形内角和定理及三角形的内心，综合性大.
7．（2018·南山区期末）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】C
【解析】∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，
∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°．
故选C．
8．（2017·蚌埠市期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( )
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
【答案】C
【解析】根据勾股定理得：斜边为82+152=17，
则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径r=8+15-172=3 (步)，即直径为6步，
故选C
9．（2018·宁城县期末）下列说法正确的是( )
A.三点确定一个圆
B.一个三角形只有一个外接圆
C.和半径垂直的直线是圆的切线
D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
【答案】B
【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；
B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；
C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．
故选：B．
【名师点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．
10．（2018·昌平区期末）已知，Rt△ABC中，∠C=90∘，斜边AB上的高为5cm，以点C为圆心，4.8为半径的圆与该直线AB的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【详解】解：∵5cm＞4.8cm，
∴d> r.
∴圆与该直线AB的位置关系是相离，交点个数为0，
故选：A．
【名师点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直线与圆的位置关系．
二、填空题（共5小题）
11．（2018·盐城市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有公共点，则r的取值范围是_____．
【答案】1≤r≤10
【解析】作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB，如图所示
则四边形OECF是正方形，∴OF=CF=OE=CE．
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=AC2+BC2=5．
∵O是△ABC的内心，∴CE=CF=OF=OE=12（AC+BC﹣AB）=1，∴AF=AC﹣CF=3，BE=BC﹣CE=2，∴OA=AF2+0F2=32+12=10，OB=BE2+OE2=22+12=5，当r=1时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有唯一交点；
当1＜r≤5时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有两个交点；
当5＜r≤10时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有1个交点；
∴以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有交点，则r的取值范围是1≤r≤10；
故答案为：1≤r≤10．
12．（2018·南宁市期末）已知⊙O的直径为13cm，如果圆心O到直线l的距离为5.5cm，那么直线l与⊙O有________个公共点．
【答案】2
【详解】已知圆的直径为13cm，则半径为6.5cm，
又圆心距为5.5cm，小于半径，
所以，直线与圆相交，有两个交点．
故答案为：2．
【名师点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
13．（2018·东营市期末）如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的值是________．
【答案】3<r≤4或r=2.4
【解析】如图：
∵BC>AC，
∴以C为圆心，r为半径所作圆与斜边AB只有一个公共点，
由勾股定理，得AB=5．
分两种情况：
①圆与AB相切时，
r=CD=3×4÷5=2.4．
②点A在圆内时，点B在圆上或圆外时，
AC<r≤BC．
即3<r≤4．
综上所述3<r≤4或r=2.4，满足条件．
14．（2018·淮安市期中）如图，已知⊙O的半径为2，ΔABC内接于⊙O，∠ACB=135∘，则AB=__________．
【答案】22
【解析】详解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴AB=22，
故答案为：22．
15．（2018·宁城县期末）在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，以C为圆心，2.4为半径作⊙C，则⊙C和AB的位置关系是________．
【答案】相切
【详解】过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=32+42=5，
由三角形面积公式得：12×3×4=12×5×CD，
CD=2.4，
即C到AB的距离等于⊙C的半径长，
∴⊙C和AB的位置关系是相切，
故答案为：相切.
【名师点睛】本题考查了直线和园的位置关系,解决的根据是直线和圆相离⇔圆心到直线的距离大于圆的半径.
三、解答题（共3小题）
16．（2018·济南市期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析（2）2
【解析】（1）如图，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．
∵OA=OC，∠BCD=∠A，
∴∠ACO=∠A=∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，
∴OD==5，
∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．
17．（2018·荔湾区期末）已知△ABC中
（1）求作：△ABC的内切圆⊙O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）
（2）综合应用：在你所作的圆中，若∠AOB=140°，求∠C的度数．
【答案】（1）图形见解析（2）100°
【解析】（1）如图所示，⊙O即为所求；
（2）由（1）知，OA、OB分别为∠CAB、∠CBA的平分线，
∴∠CAB=2∠OAB、∠CBA=2∠OBA，
∵∠AOB=140°，
∴∠OAB+∠OBA=40°，
∴∠CAB+∠CBA=2（∠OAB+∠OBA）=80°，
∴∠C=100°．
18．（2019·滨州市期中）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．
（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；
（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．
【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O的半径为2．
【详解】（1）如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵AE=AE,∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°，
∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AE=AE，
∴∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=2∠C，
∵∠OAC=90°，
∴∠AOC+∠C=90°，
∴3∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴OA=12OC，
设⊙O的半径为r，
∵CE=2，
∴r=12 (r+2)，
解得：r=2，
∴⊙O的半径为2．
【名师点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
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