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17
解一元二次方程
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重难突破
方法一：配方法（最基础的解法）
配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
用配方法解一元二次方程的一般步骤
Ø 移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
Ø 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
Ø 配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；
【注意】1）当时，方程无解
2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
Ø 求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
典例1 （2018春 青岛市期末）下列用配方法解方程的步骤中，开始出现错误的步骤是（ ）
，①
，②
，③
．④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【详解】步骤③，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、右两边应同时加上．
故选C．
典例2 （2018春 南昌市期末）用配方法解下列方程，其中应在方程的左、右两边同时加上1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A. ∵ ，
∴，
∴，故不符合题意；
B. ∵，
∴，
∴，
∴，故符合题意；
C. ∵，
∴，故不符合题意；
D. ∵，
∴，
∴，故不符合题意.
故选B.
典例3 （2018春 运城市期末）用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
移项得，
配方得，
即．
故选D．
方法二：直接开平方法（最基础的解法）
概念：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者
，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
【注意】
1)若b≥0，方程有两个实数根。
（若b>0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根）
2)若b<0，方程无解。
典例1 （2018春 汕头市期末）如果一个一元二次方程的根是，那么这个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A. ∵，
∴x1=2，x2=-2，故不符合题意；
B. ∵，
∴，
∴原方程没有实数根，故不符合题意；
C. ∵，
∴x-2=0，
∴x1=x2=2，符合题意；
D. ∵，
∴x+2=0,
∴x1=x2=-2，故不符合题意；
故选C.
典例2 （2018秋 银川市期中）方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】原方程可化为，直
接开平方得，
所以，．
故选C．
方法三：公式法（常用解法）
一元二次方程 根的判别式：
n 方程有两个不相等的实根:（）的图像与轴有两个交点
n 方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点
n 方程无实根的图像与轴没有交点
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
Ø 把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
Ø 求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
Ø 如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
Ø 最后求出x1，x2
典例1 （2018春 重庆市期末）若关于x的方程x2+4x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值为( )
A．﹣4 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【详解】∵关于x的方程x2+4x+a＝0有两个相等的实数根，
∴△＝42﹣4×1×a＝0，
解得：a＝4，
故选：C．
典例2 （2019春 长春市期末）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当a=2，b=-5，c=2时，△=b2-4ac=25-16=9＞0，方程有两个不相等的实数根，故选项A不合题意；
当a=1，b=3，c=4时，△=b2-4ac=9-16=-7＜0，方程没有实数根，故选项B符合题意；
当a=1，b=-2，c=1时，△=b2-4ac=4-4=＞0，方程有两个相等的实数根，故选项C不合题意；
当a=1，b=-2，c=-2时，△=b2-4ac=4+8=12>0，方程有两个不相等的实数根，故选项D不合题意；
故选B.
典例3（2019·辽宁中考模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜
【答案】D
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，
∴k≠0且△=（-1）2-4k≥0，
解得：且k≠0．
故选C．
典例4 （2018春 恩施市期末）一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个正实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个负实数根
【答案】C
【详解】解：∵在方程x2+2x-1=0中，△=22-4×1×（-1）=8＞0，
∴方程x2+2x-1=0有两个不相等的实数根．
故选：C．
方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）
用因式分解一元二次方程的一般步骤：
Ø 将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
Ø 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
Ø 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
Ø 求解
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解
典例1 （2018春 太原市期末）一元二次方程的根为（ ）
A．0 B．3 C．0或﹣3 D．0或3
【答案】C
【详解】方程x(x+3)=0，
可得x=0或x+3=0，
解得：x=0,x=−3.
故选C.
典例2 （2018春 海口市期末）方程的根是（ ）
A． B． C．或 D．以上答案都不正确
【答案】C
【详解】移项得：
解:移项得:,
,
解得或,
，
故选C.
典例3 （2018春 六盘水市期末）已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值是（ ）
A．或 B． C．或1 D．
【答案】B
【详解】解：把x=1代入方程（m 2 -1）x 2 -mx+m 2 =0得：（m 2 -1）-m+m 2 =0，
即2m 2 -m-1=0，
（2m+1）（m-1）=0，
解得：m=- 或1，
当m=1时，原方程不是二次方程，所以舍去．
故选B．
方法五：韦达定理（根与系数关系）
我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a≠0，Δ≥0）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
+＝； ＝
典例1 （2018春 西宁市期末）关于x的一元二次方程的两根为x1，x2，则的值为（ ）
A．-5 B．-1 C．1 D．5
【答案】D
【详解】∵一元二次方程的两根为x1，x2，
∴，
∴=3-（-2）=5，
故选：D.
典例2 （2018春 张家口市期末）若x1+x2=3，x12+x22=5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2-3x+2=0
B．x2+3x-2=0
C．x2+3x+2=0
D．x2-3x-2=0
【答案】A
【详解】∵x12+x22=5，
∴x1+x22-2x1x2=5，
而x1+x2=3，
∴9-2x1x2=5，
∴x1x2=2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2-3x+2=0．
故选：A．
典例3 （2018春 北京市市期末）若是方程的两个实数根，则 ( )
A．2018 B．2017 C．2016 D．2015
【答案】B
【详解】∵是方程的根，
∴，
∴，
∴.
∵是方程的两个实数根，
∴，
∴
故选B.
巩固训练
一、单选题（共10小题）
1．（2018春 钱江市期末）若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ ）
A．-13 B．12 C．14 D．15
【答案】B
【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可知2α2﹣5α﹣1=0，α+β=-ba=52，α·β=ca=-12，因此可得2α2=5α+1，代入2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1=5×52+3×（-12）+1=12.
故选：B.
【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一般式，得到根与系数的关系x1+x2=-ba，x1·x2=ca，然后变形代入即可.
2．（2017春 东营市期中）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：根据一元二次方程的意义，可知a≠0，然后根据一元二次方程根的判别式，可由有实数根得△=b2-4ac=1-4a≥0，解得a≤，因此可知a的取值范围为a≤且a≠0.
【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是根据一元二次方程根的个数判断△=b2-4ac的值即可.
注意：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=0时，方程有两个相等的十数根；
当△＜0时，方程没有实数根.
3．（2018春 惠民县期中）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】B
【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
故选B ．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣ba、两根之积等于ca是解题的关键．
4．（2018春 苏州市期末 ）已知实数满足，则代数式的值是( )
A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3
【答案】A
【详解】∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，
∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解；
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，
故选A．
【名师点睛】
本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体．
5．（2018春 周口市期末）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )
A．q<16 B．q>16
C．q≤4 D．q≥4
【答案】A
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，
∴△>0，即82-4q>0，
∴q<16，
故选 A.
6．（2019春 平原县期中）一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
【答案】D
【解析】分析：直接整理原方程，进而解方程得出x的值．
详解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+2＞3，x2=2﹣2，故有两个正根，且有一根大于3．
故选D．
【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．
7．（2019·春 洛阳市期中）用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为( )
A．(x﹣)2＝ B．(x+)2＝
C．(x﹣)2＝0 D．(x﹣)2＝
【答案】D
【解析】分析：本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
详解：∵x2﹣x﹣1=0，∴x2﹣x=1，∴x2﹣x+=1+，∴（x﹣）2=．
故选D．
【名师点睛】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8．（2018春 南京市期末）用配方法解方程x2+3x+1＝0，经过配方，得到（ ）
A．（x+）2＝ B．（x+）2＝
C．（x+3）2＝10 D．（x+3）2＝8
【答案】B
【详解】∵x2+3x+1＝0，
∴x2+3x＝﹣1，
∴x2+3x+()2＝﹣1+()2，
即(x+)2＝，
故选B．
【名师点睛】
本题考查了解一元二次方程--配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
9．（2018·春 惠民县期末）若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为( )
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【答案】A
【详解】把x=0代入方程得：，解得：，
∵是关于x的一元二次方程，
∴a-1，即a，
∴a的值是-1.
故选B
【名师点睛】本题考查一元二次方程的解， 一元二次方程的定义.
10．（2018·春 包河区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＜0，b＜0，即kb＞0，故B不正确；
C．k＞0，b＜0，即kb＜0，故C正确；
D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确，
故选C．
【名师点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
二、填空题（共5小题）
11．（2018春 泰兴市期末）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____．
【答案】4
【详解】∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，
∵x12+x22=4，
∴（x1+x2）2-2x1x2=4，
（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，
2k2+2k﹣4=0，
k2+k﹣2=0，
k=﹣2或1，
∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1•x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4，
故答案为：4．
【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．
12．（2018春 宿迁市期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足a2-6a+b2-4b+13=0，c为奇数，则△ABC的周长为______．
【答案】8
【详解】∵a2+b2-4a-6b+13=0，
∴(a2-4a+4)+(b2-6b+9)=0，
∴(a-2)2+(b-3)2=0，
∴a=2，b=3，
∴边长c的范围为1<c<5．
∵边长c的值为奇数，
∴c=3，
∴△ABC的周长为2+3+3=8．
故答案为：8．
【名师点睛】
本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．
13．（2018春 响水县期末）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为_____．
【答案】3
【先理解再解答】
将n2+2n-1=0变形为.据此可得m，是方程x2-2x-1=0的两根，由一元二次方程的根与系数的关系可得m+=2，代入可得．
【详解】由n2+2n-1=0可知n≠0．
∴1+-=0．
∴，
又m2-2m-1=0，且mn≠1，即m≠．
∴m，是方程x2-2x-1=0的两根．
∴m+=2．
∴=2+1=3，
故答案为：3．
【名师点睛】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2-2x-1=0的两根．
14．（2017春 宿州市期中）设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.
【答案】5
【解析】试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案． ∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根， ∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7， ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5
15．（2019春 南开区期中）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是__．
【答案】m=4．
【解析】分析：若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
详解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，
∴△=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0，
解得m≤5.5，且m≠5，
则m的最大整数解是m=4．
故答案为：m=4．
【名师点睛】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．
三、解答题（共2小题）
16．（2018春 张家港市期中）阅读材料:若，求m、n的值.
解: ，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）己知，求的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3） 若己知，求的值.
【答案】（1）2（2）6（3）7
【分析】
（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；
（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；
（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．
【详解】（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0
∴（x+y）2+（y+1）2=0
∴x+y=0 y+1=0
解得：x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2；
（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得：a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；
（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．
故答案为：7．
【名师点睛】
本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
17．（2019春 临淄区期中）己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若=﹣1，求k的值．
【答案】（1）k＞﹣；（2）k=3．
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3、x1x2=k2，结合=﹣1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣；
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，
∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，
∴=﹣1，
解得：k1=3，k2=﹣1，
经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根，
又∵k＞﹣，
∴k=3．
【名师点睛】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合=﹣1找出关于k的分式方程．
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