2019_2020学年九年级数学上册期末考点大串讲解一元二次方程含解析新版新人教版.docx

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解一元二次方程
知识网络

重难突破
方法一：配方法（最基础的解法）
配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
用配方法解一元二次方程的一般步骤
Ø 移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
Ø 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
Ø 配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；
【注意】1）当时，方程无解
2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
Ø 求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
典例1 （2018春 青岛市期末）下列用配方法解方程的步骤中，开始出现错误的步骤是（ ）
，①
，②
，③
．④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【详解】步骤③，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、右两边应同时加上．
故选C．
典例2 （2018春 南昌市期末）用配方法解下列方程，其中应在方程的左、右两边同时加上1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A. ∵ ，
∴，
∴，故不符合题意；
B. ∵，
∴，
∴，
∴，故符合题意；
C. ∵，
∴，故不符合题意；
D. ∵，
∴，
∴，故不符合题意.
故选B.
典例3 （2018春 运城市期末）用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
移项得，
配方得，
即．
故选D．
方法二：直接开平方法（最基础的解法）
概念：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者
，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
【注意】
1)若b≥0，方程有两个实数根。
（若b>0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根）
2)若b<0，方程无解。
典例1 （2018春 汕头市期末）如果一个一元二次方程的根是，那么这个方程是（
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A. ∵，
∴x1=2，x2=-2，故不符合题意；
B. ∵，
∴，
∴原方程没有实数根，故不符合题意；
C. ∵，
∴x-2=0，
∴x1=x2=2，符合题意；
D. ∵，
∴x+2=0,
∴x1=x2=-2，故不符合题意；
故选C.
典例2 （2018秋 银川市期中）方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】原方程可化为，直
接开平方得，
所以，．
故选C．
方法三：公式法（常用解法）
一元二次方程 根的判别式：
n 方程有两个不相等的实根:（）的图像与轴有两个交点
n 方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点
n 方程无实根的图像与轴没有交点
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
Ø 把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
Ø 求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
Ø 如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
Ø 最后求出x1，x2
典例1 （2018春 重庆市期末）若关于x的方程x2+4x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值为( )
A．﹣4 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【详解】∵关于x的方程x2+4x+a＝0有两个相等的实数根，
∴△＝42﹣4×1×a＝0，
解得：a＝4，
故选：C．
典例2 （2019春 长春市期末）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当a=2，b=-5，c=2时，△=b2-4ac=25-16=9＞0，方程有两个不相等的实数根，故选项A不合题意；
当a=1，b=3，c=4时，△=b2-4ac=9-16=-7＜0，方程没有实数根，故选项B符合题意；
当a=1，b=-2，c=1时，△=b2-4ac=4-4=＞0，方程有两个相等的实数根，故选项C不合题意；
当a=1，b=-2，c=-2时，△=b2-4ac=4+8=12>0，方程有两个不相等的实数根，故选项D不合题意；
故选B.
典例3（2019·辽宁中考模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜
【答案】D
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，
∴k≠0且△=（-1）2-4k≥0，
解得：且k≠0．
故选C．
典例4 （2018春 恩施市期末）一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个正实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个负实数根
【答案】C
【详解】解：∵在方程x2+2x-1=0中，△=22-4×1×（-1）=8＞0，
∴方程x2+2x-1=0有两个不相等的实数根．
故选：C．
方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）
用因式分解一元二次方程的一般步骤：
Ø 将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
Ø 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
Ø 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
Ø 求解
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解
典例1 （2018春 太原市期末）一元二次方程的根为（　　）
A．0 B．3 C．0或﹣3 D．0或3
【答案】C
【详解】方程x(x+3)=0，
可得x=0或x+3=0，
解得：x=0,x−3.
故选C.
典例2 （2018春 海口市期末）方程的根是（ ）
A． B． C．或 D．以上答案都不正确
【答案】C
【详解】移项得：
解:移项得:,
,
解得或,
，
故选C.
典例3 （2018春 六盘水市期末）已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值是（ ）
A．或 B． C．或1 D．
【答案】B
【详解】解：把x=1代入方程（m 2 -1）x 2 -mx+m 2 =0得：（m 2 -1）-m+m 2 =0， 
即2m 2 -m-1=0， 
（2m+1）（m-1）=0， 
解得：m=-  或1， 
当m=1时，原方程不是二次方程，所以舍去． 
故选B．
方法五：韦达定理（根与系数关系）
我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a≠0，Δ≥0）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
+＝； ＝
典例1 （2018春 西宁市期末）关于x的一元二次方程的两根为x1，x2，则的值为（ ）
A．-5 B．-1 C．1 D．5
【答案】D
【详解】∵一元二次方程的两根为x1，x2，
∴，
∴=3-（-2）=5，
故选：D.
典例2 （2018春 张家口市期末）若x1+x2=3，x12+x22=5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2-3x+2=0
B．x2+3x-2=0
C．x2+3x+2=0
D．x2-3x-2=0
【答案】A
【详解】∵x12+x22=5，
∴x1+x22-2x1x2=5，
而x1+x2=3，
∴9-2x1x2=5，
∴x1x2=2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2-3x+2=0．
故选：A．
典例3 （2018春 北京市市期末）若是方程的两个实数根，则 ( )
A．2018 B．2017 C．2016 D．2015
【答案】B
【详解】∵是方程的根，
∴，
∴，
∴.
∵是方程的两个实数根，
∴，
∴
故选B.

巩固训练
一、单选题（共10小题）
1．（2018春 钱江市期末）若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（      ）
A．-13 B．12 C．14 D．15
【答案】B
【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可知2α2﹣5α﹣1=0，α+β=-ba=52，α·β=ca=-12，因此可得2α2=5α+1，代入2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1=5×52+3×（-12）+1=12.
故选：B.
【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一般式，得到根与系数的关系x1x2=-ba，x1·x2=ca，然后变形代入即可.
2．（2017春 东营市期中）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：根据一元二次方程的意义，可知a≠0，然后根据一元二次方程根的判别式，可由有实数根得△=b2-4ac=1-4a≥0，解得a≤，因此可知a的取值范围为a≤且a≠0.
【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是根据一元二次方程根的个数判断△=b2-4ac的值即可.
注意：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=0时，方程有两个相等的十数根；
当△＜0时，方程没有实数根.
3．（2018春 惠民县期中）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】B
【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
故选B ．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣ba、两根之积等于ca是解题的关键．
4．（2018春 苏州市期末 ）已知实数满足，则代数式的值是( )
A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3
【答案】A
【详解∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，
∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解；
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，
故选A．
【名师点睛】
本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体．
5．（2018春 周口市期末）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )
A．q<16 B．q>16
C．q≤4 D．q≥4
【答案】A
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，
∴△>0，即82-4q>0，
∴q<16，
故选 A.
6．（2019春 平原县期中）一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
【答案】D
【解析】分析：直接整理原方程，进而解方程得出x的值．
详解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+2＞3，x2=2﹣2，故有两个正根，且有一根大于3．
故选D．
【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．
7．（2019·春 洛阳市期中）用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为( )
A．(x﹣)2＝ B．(x+)2＝
C．(x﹣)2＝0 D．(x﹣)2＝
【答案】D
【解析】分析：本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
详解：∵x2﹣x﹣1=0，∴x2﹣x=1，∴x2﹣x+=1+，∴（x﹣）2=．
故选D．
【名师点睛】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8．（2018春 南京市期末）用配方法解方程x2+3x+1＝0，经过配方，得到（　　）
A．（x+）2＝ B．（x+）2＝
C．（x+3）2＝10 D．（x+3）2＝8
【答案】B
【详解】∵x2+3x+1＝0，
∴x2+3x＝﹣1，
∴x2+3x+()2＝﹣1+()2，
即(x+)2＝，
故选B．
【名师点睛】
本题考查了解一元二次方程--配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
9．（2018·春 惠民县期末）若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为( )
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【答案】A
【详解】把x=0代入方程得：，解得：，
∵是关于x的一元二次方程，
∴a-1，即a，
∴a的值是-1.
故选B
【名师点睛】本题考查一元二次方程的解， 一元二次方程的定义.
10．（2018·春 包河区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＜0，b＜0，即kb＞0，故B不正确；
C．k＞0，b＜0，即kb＜0，故C正确；
D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确，
故选C．
【名师点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
二、填空题（共5小题）
11．（2018春 泰兴市期末）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____．
【答案】4
【详解】∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，
∵x12+x22=4，
∴x1+x2）2-2x1x2=4，
（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，
2k2+2k﹣4=0，
k2+k﹣2=0，
k=﹣2或1，
∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1•x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4，
故答案为：4．
【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．
12．（2018春 宿迁市期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足a2-6a+b2-4b+13=0，c为奇数，则△ABC的周长为______．
【答案】8
【详解】∵a2+b2-4a-6b+13=0，
∴(a2-4a+4)+(b2-6b+9)=0，
∴(a-2)2+(b-3)2=0，
∴a=2，b=3，
∴边长c的范围为12-2x-1=0的两根，由一元二次方程的根与系数的关系可得m+=2，代入可得．
【详解】由n2+2n-1=0可知n≠0．
∴1+-=0．
∴，
又m2-2m-1=0，且mn≠1，即m≠．
∴m，是方程x2-2x-1=0的两根．
∴m+=2．
∴=2+1=3，
故答案为：3．
【名师点睛】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2-2x-1=0的两根．
14．（2017春 宿州市期中）设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.
【答案】5
【解析】试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案． ∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根， ∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7， ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5
15．（2019春 南开区期中）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是__．
【答案】m=4．
【解析】分析：若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
详解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5x2+2x+2=0有实根，
∴△=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0，
解得m≤5.5，且m≠5，
则m的最大整数解是m=4．
故答案为：m=4．
【名师点睛】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．

三、解答题（共2小题）
16．（2018春 张家港市期中）阅读材料:若，求m、n的值.
解: ，

，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）己知，求的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3） 若己知，求的值.
【答案】（1）2（2）6（3）7
【分析】
（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；
（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；
（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．
【详解】（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0
∴（x+y）2+（y+1）2=0
∴x+y=0 y+1=0
解得：x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2；
（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得：a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；
（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．
故答案为：7．
【名师点睛】
本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
17．（2019春 临淄区期中）己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若=﹣1，求k的值．
【答案】（1）k＞﹣；（2）k=3．
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3、x1x2=k2，结合=﹣1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣；
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，
∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，
∴=﹣1，
解得：k1=3，k2=﹣1，
经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根，
又∵k＞﹣，
∴k=3．
【名师点睛】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合=﹣1找出关于k的分式方程．