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圆和圆的位置关系
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知识点一 圆和圆的位置关系（基础）
设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
位置关系
图形
定义
性质及判定
外离
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d>R+r⇔两圆外离
外切
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d=R+r⇔两圆外切
相交
两个圆有两个公共点．
R-r<d<R+r⇔两圆相交
内切
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．
d=R-r⇔两圆内切
内含
两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．
0≤d<R-r⇔两圆内含
【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
【圆和圆的位置关系小结】
l 圆与圆位置关系--外离（练习）
【图示】
典例1（2018·昌平区期末）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径r>1，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）
A．内含 B．内切 C．外离 D．相交
【答案】C
【详解】解：∵r＞1，
∴2＜3＋r，
∴这两个圆的位置关系不可能外离．
故选：C．
【名师点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R＋r；②两圆外切⇔d＝R＋r；③两圆相交⇔R−r＜d＜R＋r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R−r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R−r（R＞r）．
典例2 已知两圆的半径是方程x2－7x＋12＝0两实数根，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外离 D．外切
【答案】C
【详解】∵方程x2-7x+12=0，
∴可转化为（x-3）（x-4）=0，解得x1=3，x2=4．
∵两圆半径之和为7，两圆半径之差为1；
∵圆心距d=8，＞两圆半径之和为7；
∴两圆外离．
故选C．
【名师点睛】考查用因式分解法解一元二次方程和由数量关系来判断两圆位置关系的方法．
典例3（2017·余杭区期末）已知线段AB＝7cm．现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A和⊙B的位置关系是( )
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】D
【解析】依题意，线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，
∴R+r=3+2=5，d=7，
所以两圆外离．
故选D．
l 圆与圆位置关系—内含（练习）
【图示】
典例1（2017·虹桥区期末）已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这两圆没有公共点，那么d的值可以取（ ）
A．11； B．6； C．3； D．2．
【答案】D
【解析】∵圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，
∴当d>4+7或d<7-4时，这两个圆没有公共点，即d>11或d<3，
∴上述四个数中，只有D选项中的2符合要求.
故选D.
典例2（2017·通州区期末）已知⊙的半径长为，⊙的半径长为，如果⊙与⊙内含，那么圆心距的长度可以为 （ ）
A.； B.； C.； D..
【答案】A
【详解】∵⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为5，⊙A与⊙B内含，
∴AB＜5-2=3，
A选项符合，
故选：A．
l 圆与圆位置关系—内切/外切（练习）
【图示】
典例1（2017·阳高县期末）已知⊙O1与⊙O2相切，若⊙O1的半径为1，两圆的圆心距为5，则⊙O2的半径为（ ）
A．4 B．6 C．3或6 D．4或6
【答案】D
【解析】解：∵⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为1，两圆的圆心距为5，
若⊙O1与⊙O2内切，则⊙O2的半径为：5-1=4，
若⊙O1与⊙O2外切，则⊙O2的半径为：5+1=6，
∴⊙O2的半径为4或6．
故选D．
典例2（2017·雨花台区期末）已知两圆的直径分别为7和1，当它们相切时，圆心距为（ ）
A．8 B．6 C．8或6 D．4或3
【答案】D
【解析】试题解析：∵直径分别为7和1，
∴两圆半径分别为3.5和0.5，
∴当两圆外切时，圆心距为3.5+10.5=4；
当两圆内切时，圆心距为3.5−0.5=3.
故选D.
典例3（2018·宁海县期末）两个圆的半径分别为5和9，两圆的圆心距为d，当两圆相切时， d的值是（ ）
A．14 B．6 C．6或14 D．4或14
【答案】D
【解析】根据两圆相切的定义得：当 或时，两圆相切.易得D.
l 圆与圆位置关系—相交（练习）
【图示】
典例1 如图，圆与圆的位置关系没有（ ）
A．相交 B．相切 C．内含 D．外离
【答案】A
【详解】解：圆与圆相交有两个交点,但是图像中没有两个交点的情况,
所以圆与圆的位置关系没有相交,
故选A.
【名师点睛】本题考查了圆与圆的位置关系,属于简单题,熟悉位置关系的辨析方法是解题关键.
典例2 ⊙O1和⊙O2半径分别是x2－7x＋12＝0两根．O1O2＝2，则二圆位置关系是( )
A．相交 B．相离 C．相切 D．外切
【答案】A
【详解】解方程x2－7x＋12＝0得x1＝3，x2＝4，∵O1O2＝2，x2＋x1＝7，x2－x1＝1，∴x2－x1＜O1O2＜x2＋x1，∴⊙O1与⊙O2相交，故答案选A.
【名师点睛】此题综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断，解题的关键是正确的解一元二次方程.
典例3 （2018·眉山市期末）已知两圆的半径满足方程，圆心距为，则两圆位置关系是（ ）
A.相交 B.外切 C.内切 D.外离
【答案】A
【详解】解方程得两圆半径都等于.则两半径相减=0＜2，两半径相加=＞2，因此两圆的位置关系是相交的.故选：A.
【名师点睛】设两圆半径为R，r,圆心距为p. R-r＜p＜R+r时，两圆相交.
典例4 （2019·乐山市期末）已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，如果以A为圆心为半径的⊙A和以BC为直径的⊙D相交，那么的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意得：BD=DC=5，
AB=AC=13，
由勾股定理得：AD=12，
设⊙A的半径为r，
根据两圆相交得：
r-5＜12＜r+5，
解答：7＜r＜17，
故选D．
典例5 （2019·肃宁县期末）已知两圆半径分别为3cm，5cm，圆心距为7cm，则这两圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
【答案】A
【解析】试题分析：根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）.因此，
∵两圆半径分别为3cm，5cm，圆心距为7cm，
∴，即两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差.
∴这两圆的位置关系为相交.故选A.
巩固训练
一、单选题（共10小题）
1．（2019·滨海县期末）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A.63 B.62 C.33 D.32
【答案】A
【解析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．
解：如图所示，设OA与BC相交于D点.
∵AB=OA=OB=6，
∴△OAB是等边三角形.
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD=62-32=33
所以BC=2BD=63.
故选A.
2．（2019·海口市期末）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）
A.5＜OB＜9 B.4＜OB＜9 C.3＜OB＜7 D.2＜OB＜7
【答案】A
【详解】设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O=30°，AD=2，
∴OA=4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，
∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；
当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，
∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，
故选A．
【名师点睛】本题考查了两圆间的位置关系，分两圆内切与外切分别画出符合题意的图形进行讨论是解题的关键.
3．（2019·武汉市期末）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】B
【详解】∵圆心到直线的距离5cm=5cm，
∴直线和圆相切，
故选B．
【名师点睛】本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
4．（2019·宝山区期末）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A.11 B.10 C.9 D.8
【答案】C
【详解】设⊙A的半径为X,⊙B的半径为Y,⊙C的半径为Z.
X+Y=5Z-X=6Z-Y=7
解得Z=9X=3Y=2
故选：C
【名师点睛】此题考查相切两圆的性质，解题关键在于列出方程
5．（2018·四川中考真题）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【解析】详解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，
又∵2+3=5，3-2=1，1＜4＜5，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．
故选：C．
6．（2018·虹口区期末）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）
A.2<r<4 B. C. D.
【答案】A
【详解】试题分析：由勾股定理，得：AD＝5，⊙D与⊙A相交，所以，r＞5－3＝2，BD＝7－3＝4，点B在⊙D外，所以，r＜4，故有2<r<4．故选A．
7．（2018·宝山区期末）已知圆O1的半径长为6cm，圆O2的半径长为4cm，圆心距O1O2=3cm，那么圆O1与圆O2的位置关系是( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
【答案】C
【解析】详解：圆O1的半径长为6cm，圆O2的半径长为4cm，圆心距O1O2=3cm，
6-4<3<6+4,
圆O1与圆O2的位置关系是相交.
故选C.
8．（2019·汶上县期末）如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a,0)，半径为5.如果两圆内含，那么a的取值范围为（ ）
A．-2≤a≤2 B．-2<a<2 C．0<a<5 D．0<a<3
【答案】B
【详解】根据两圆圆心坐标可知，圆心距=|a-0|=|a|，
因为两圆内含时，圆心距＜5-3，
即|a|＜2，解得-2＜a＜2．
故选B．
【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，注意圆和圆内含的条件；当两圆圆心同在x轴上时，圆心距等于两点横坐标差的绝对值．
9．（2018·四川中考真题）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
【答案】C
【解析】详解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，
又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．
故选：C．
10．（2019·南通市期末）已知两圆的半径 R 、r 分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为 7， 则两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】C
【详解】解：∵x2-7x+10=0，
∴（x-2）（x-5）=0，
∴x1=2，x2=5，
即两圆半径R 、r分别是2，5，
∵2+5=7，两圆的圆心距为7，
∴两圆的位置关系是外切．
故选：C．
【名师点睛】本题考查圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解题的关键．
二、填空题（共5小题）
11．（2018·江苏中考模拟）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程x2-2x+89=0的两根，且O1O2=1，则⊙O1和⊙O2的位置关系是________.
【答案】相交
【解析】详解：∵x2-2x+89=0，
解得：x=23或x=43，
又∵⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程x2-2x+89=0的两根，
∴⊙O1和⊙O2的半径分别是23与43，
∵23+43=2，43-23=23，且O1O2=1，
∴⊙O1和⊙O2的位置关系是相交．
故答案为：相交．
12．（2018·江苏中考模拟）如图，⊙A、⊙B的圆心A、B在直线l上，两圆半径都为1cm，开始时圆心距AB=10cm，现⊙A、⊙B分别沿直线l以每秒2cm和每秒1cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙B运动的时间为_________秒
【答案】103
【详解】本题所说的两圆相切，应分为两圆第一次相遇时的相切和两圆继续移动，即将相离时的相切两种情况．
第一种情况两圆所走的路程为10-2=8cm，8÷3=83秒，
第二种情况两圆所走的路程为10+2=12cm，12÷3=4秒，
故答案为83或4.
【名师点睛】本题考查了两圆间的位置关系、行程问题，熟练掌握行程问题中的时间、路程、速度三者间的关系以及运用分类讨论思想解答本题是关键.
13．（2017·上海中考模拟）如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB＝3，点O在直线AB上，⊙O与⊙A、⊙B都内切，那么⊙O半径是________．
【答案】32或92．
【解析】当点O在点A左侧时，⊙O半径r=10-12=92 ,当点O在点B右侧时，⊙O半径r=10-72=32 .
故填92或32.
14．（2018·乌鲁木齐市期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（R+r）x+14 d2=0没有实数根，其中R、r分别为⊙O1和⊙O2的半径，d为此两圆的圆心距，则⊙O1和⊙O2的位置关系为_____．
【答案】两圆外离．
【解析】详解：根据题意，得：△=（R+r）2﹣d2=（R+r+d）（R+r﹣d）＜0，∴R+r﹣d＜0，即d＞R+r，则两圆外离．
15．（2019·静安区期末）已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为___．
【答案】4．
【详解】∵两圆外切，圆心距为7，若其中一个圆的半径为3
∴另一个圆的半径＝7﹣3＝4．故答案为：4．
【名师点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，本题的解题关键是掌握当两圆外切时圆心距为两圆半径之和，两圆内切时，圆心距为大圆半径-小圆半径.
三、解答题（共2小题）
16．实践探索题：在生产、生活中，我们会经常遇到捆扎圆柱管的问题．下面，我们来探索捆扎时，所需要的绳子的长度(不计接头部分)与圆柱管的半径r之间的关系．
(1)当圆柱管的放置方式是“单层平放”时，截面如图所示：
请你完成下表：
圆柱管个数
1
2
3
……
绳子长度
2πr
……
(2)当圆柱管的放置方式是“两层叠放(每一个圆都和至少两个圆外切)”时，截面如图所示：
请你填写下表：
圆柱管个数
3
4
5
6
……
绳子长度
……
【答案】(1)4r+2πr，8r+2πr；(2)6r+2πr，8r+2πr，10r+2πr，12r+2πr.
【分析】（1）随着圆柱管的增多，弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多4个半径长；
（2）以3个圆柱管为基础，随着圆柱管的增多，弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多2个半径长.
【详解】（1）根据弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多4个半径长，得4r+2πr，8r+2πr；
（2）根据弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多2个半径长，得6r+2πr，8r+2πr，10r+2πr，12r+2πr.
【名师点睛】解决本题的关键是观察分析得到每类圆柱管的放置规律．
17．（2019·河间市期末）如图，若⊙O的周长为20πcm，⊙A、⊙B的周长都是4πcm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？
【答案】与原题意相符
【解析】解：∵圆O的周长为20πcm，∴圆O的半径=10cm，∵圆A圆B周长都是4πcm，∴圆A圆B周长半径都是2，∴圆A在圆O内沿圆O滚动半径是10﹣2=8，圆B在圆O外沿圆O滚动半径是10+2=12
∴要回到原来的位置，圆B转动的周数=12÷2=6，圆A转动的周数=8÷2=4．
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