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圆的有关性质
知识网络
重难突破
知识点一 圆的基础概念
圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑴ 圆心；
⑵ 半径，
⑶ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
典例1（2017费县期末）下列命题中正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①弦是圆上任意两点之间的连线段，所以①错误；
②半径不是弦，所以②错误；
③直径是最长的弦，正确；
④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，所以④错误，
故选A．
典例2（2019汕头市期末）已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为( )cm．
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】B
【详解】∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B.
【名师点睛】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
典例3（2018大庆市期末）下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
【答案】B
【解析】试题解析：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．
故选B．
典例4 下列命题中正确的是（ ）
A．过圆心的线段叫做圆的直径 B．面积相等的两个圆是等圆
C．大于半圆的弧叫劣弧 D．平分弦的直径垂直于这条弦
【答案】B
【详解】A、直径是经过圆心的弦，两端点要在圆上，错误；
B、圆的面积相等，则它们的半径相等，是等圆，正确；
C、大于半圆的弧叫优弧，错误；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，错误；
故选B．
【名师点睛】本题考查了直径，等圆，优弧，劣弧的概念及垂径定理．
典例5（2019余杭区期末）已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【详解】因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．
故选:D．
【名师点睛】考查圆的性质，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键.
知识点二 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
1） 过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；
2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
典例1（2019·广东铁一中学初三期中）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，则∠AOB的度数为（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【详解】过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，
由折叠的性质可知，OD=12OC=12OA，
由此可得．在Rt△AOD中，∠OAD=30°，
同理可得∠OBD=30°．
在△AOB中，由内角和定理，得：∠AOB=180°﹣∠OAD﹣∠OBD=120°．
故选B．
【名师点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．
典例2（2019赣州市期中）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
C．相等的弧所对弦相等
D．长度相等弧是等弧
【答案】C
【详解】解：A.错误．需要添加此弦非直径的条件；
B.错误．应该是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；
C.正确．
D.错误．长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等；
故选C．
【名师点睛】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
典例3（2018·山东胜利一中初三期末）如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16m，拱高CD=4m，则圆弧形桥拱所在圆的半径为（ ）
A.6 m B.8 m C.10 m D.12 m
【答案】C
【解析】【详解】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，
连接OA．根据垂径定理，得AD=8，
设圆的半径是r，根据勾股定理，
得r2=82+（r-4）2，
解得r=10m．
故选C．
【名师点睛】本题考查了勾股定理及垂径定理．解题的关键是构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．
典例4（2018寿光县期末）已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O的半径为（ ）
A.4cm B.5cm C.42cm D.23cm
【答案】B
【详解】
连结OA，如图，设O的半径为R，∵CD⊥AB，
∴∠APO=90°BP，在Rt△OAP中，∵OP=OD−PD=r−2，OA=r，AP=4，
∴(r−2)2+42=r2，解得r=5，即O的半径为5cm.故选B.
【名师点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理、 勾股定理.
知识点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等
典例1（2018燕山区期末）如图，圆心角∠AOB=25°，将弧AB旋转n°得到弧CD，则∠COD等于（ ）
A.25° B.25°+n° C.50° D.50°+n°
【答案】A
【解析】试题解析：∵将AB旋转n°得到CD，
∴AB=CD，
∴∠DOC=∠AOB=25°
故选A．
典例2 如图，已知AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40∘，那么∠AOE=( )
A.40∘ B.60∘ C.80∘ D.120∘
【答案】B
【详解】∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°
∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40°
∴∠AOE=60°．
故选：B．
【名师点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角相等.
典例3 （2018泗阳县期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．面积相等的两个圆是等圆
C．三角形的内心到各顶点的距离相等
D．长度相等的弧是等弧
【答案】B
【详解】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，是假命题；
B、面积相等的两个圆的半径相等，是等圆，故正确，是真命题；
C、三角形的内心到三角形各边的距离相等，故错误，是假命题；
D、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故错误，是假命题，
故选：B．
【名师点睛】本题考查命题与定理的知识，解题关键是圆周角定理，等圆的定义、三角形的内心的性质，属于基础定义，难度不大．
知识点四 圆周角定理（考点）
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
典例1（2018泗阳县期末）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【详解】∵AC=AC，
∴∠ABC=12∠AOC=12×80°=40°，
故选C．
【名师点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半”是解题的关键.
典例2（2017安定县期末）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的大小为（ ）
A.20° B.40° C.50° D.70°
【答案】C
【解析】∵∠D=40°，
∴∠B=∠D=40°.
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°−40°=50°.
故选：C.
【名师点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
典例3（2017余杭区期中）如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（ ）
A.大于60° B.小于60° C.大于30° D.小于30°
【答案】D
【解析】试题解析：连接OA，OB，AB，BC，如图：
∵AB=OA=OB，即△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠ACB与∠AOB所对的弧都为AB，
∴∠ACB=12∠AOB=30°，
又∠ACB为△SCB的外角，
∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜30°．
故选D
典例4（2018苏州市期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
【答案】D
【解析】∵∠ACD对的弧是AD，AD对的另一个圆周角是∠ABD，
∴∠ABD=∠ACD（同圆中，同弧所对的圆周角相等），
故选B.
知识点五 圆内接四边形
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
典例1（（2016萧山区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=______．
【答案】70°
【解析】连接AC，∵点C为弧BD的中点，∴∠CAB=12∠DAB=20°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=70°，
故答案为：70°．
【名师点睛】本题主要考查了圆周角定理以及推论，连接AC是解本题的关键.
典例2（2016萧山区期中）如图，正五边形ABCDE为内接于⊙O的，则∠ABD=________．
【答案】72°．
【解析】连接AO、DO，根据正五边形的性质求出∠AOD，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解．
解：如图，连接AO、DO，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOD=25×360°=144°，
∴∠ABD=12∠AOD=12×144°=72°．
巩固训练
一、单选题（共10小题）
1．（2018江都区期中）如图，把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示．已知EF=CD=4 cm，则球的半径长是（ ）
A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm
【答案】B
【解析】由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧EF于点H、I，再连接OF，
在矩形ABCD中，AD∥BC，而IG⊥BC，
∴IG⊥AD，
∴在⊙O中，FH=12EF=2，
设求半径为r，则OH=4-r，
在Rt△OFH中，r2-（4-r）2=22，
解得r=2.5，
∴这个球的半径是2.5厘米．
故选B.
【名师点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理，难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
2．（2018·泸西县期中）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
【答案】D
【详解】由图可知，OA=10，OD=5，
在Rt△OAD中，
∵OA=10，OD=5，AD=OA2-OD2=53，
∴tan∠1=ADOD=3，∴∠1=60°，
同理可得∠2=60°，
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，
∴∠C=60°，
∴∠E=180°-60°=120°,
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，
故选D．
【名师点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键.
3．（2018·滨海新区期中）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A.50° B.60° C.80° D.100°
【答案】D
【详解】圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°.
故选D．
【名师点睛】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
4．（2018襄阳市期中）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
A.35° B.45° C.55° D.65°
【答案】C
【解析】∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选C．
【名师点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.
5．（2018·滨海新区期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为
A．15° B．35° C．25° D．45°
【答案】A
【详解】∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，
∵DC//AB，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵∠D=∠A=50°，
∴∠DBC=180°-∠D -∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，
故选A.
【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
6．（2018·驻马店市期中）下列命题中是真命题的有（ ）
①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的两个圆是等圆；⑤直径是圆中最长的弦．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【详解】能够重合的弧是等弧，①是假命题；
圆的任意一条不是直径的弦把圆分成优弧和劣弧两部分，②是假命题；
长度相等的弧不一定是等弧，③是假命题；
半径相等的两个圆是等圆，④是真命题；
直径是圆中最长的弦，⑤是真命题；
故选：D．
【名师点睛】本题考查圆的有关基本知识，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（2018·菏泽市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）
A.7 B.27 C.6 D.8
【答案】B
【详解】试题解析：由题意连接OC，得
OE=OB-AE=4-1=3，
CE=CD= OC2-OE2=7，
CD=2CE=27，
故选B．
8．（2018·西湖区期中）如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE= ( )
A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm
【答案】A
【解析】∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE=12CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE=OC2-CE2=3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故选：A．
【名师点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
9．（2018·三门峡市期末）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【详解】图中的弦有AB，BC，CE共三条，故选B．
【名师点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦．
10．（2018·乐山市期中）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°，P为弧AB上一点，则∠APB度数是（ ）
A.100° B.110° C.120° D.130°
【答案】C
【解析】试题解析：在优弧AB上取点C，连接AC、BC，
由圆周角定理得,∠ACB=12∠AOB=60∘,
由圆内接四边形的性质得到,∠APB=180∘-∠ACB=120∘，
故选C.
二、填空题（共5小题）
11．（2018·天水市期末）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．
【答案】40
【详解】连接BD，如图，
∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACD=∠ABD=40°，
故答案为：40．
【名师点睛】本题考查了圆周角定理及其推论：同弧所对的圆周角相等；半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，正确添加辅助线是解题的关键.
12．（2018·盐城市期末）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是__________cm．
【答案】2或14
【解析】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AF=8cm，CE=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OF=6cm，OE=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为：2或14．
【名师点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
13．（2018·商丘市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为_____．
【答案】5
【解析】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=12CD=12×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．
【名师点睛】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．
14．（2018·台州市期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB=CD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=________．
【答案】70°
【解析】∵CB=CD，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∴，
∵∠ABD=∠ACD=50°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=70°．
故答案为：70°.
【名师点睛】考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
15．（2017·如皋市期中）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=_____°．
【答案】58
【解析】试题解析：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OAB=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°．
故答案为：58°.
三、解答题（共3小题）
16．（2016·朝阳区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB= 寸，CD= 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
【答案】AB=1寸，CD=10寸，⊙的直径为26寸．
【解析】连接CO，
∵BO⊥CD，∴CA=12CD=5，
设CO=x，则AO=x-1，
在RtΔCAO中，∠CAO=90°，
∴AO2+CA2=CO2．∴x-12+52=x2．
解得x=13，∴⊙O的直径为26寸．
17．（2019·龙岩市期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若CD=2，AB=8，求半径的长．
【答案】（1）26°；（2）5；
【详解】（1）∵OD⊥AB，
∴AD=BD，
∵∠AOD=52°，
∴∠DEB=12×52°=26°．
（2）设⊙O的半径为x，
则OC=OD-CD=x-2，
∵OD⊥AB，
∴AC=12AB=12×8=4，
在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2，
∴x2=42+（x-2）2，
解得：x=5，
∴⊙O的半径为5．
【名师点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
18．（2018·玉山县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°.试求∠AOC的度数．
【答案】∠AOC＝54°
【详解】连接OD，
∵AB＝2DE，AB＝2OD，
∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E，
∴∠ODC＝2∠E＝36°，
∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝36°，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝54°
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