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点和圆的位置关系
知识网络
重难突破
知识点一 点和圆的位置关系
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外
点在圆的外部
d>r⇔点P在⊙O的外部.
点在圆上
点在圆周上
d=r⇔点P在⊙O的圆周上.
点在圆内
点在圆的内部
d<r⇔点P在⊙O的内部.
典例1（2018·满城县期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=4，以C点为圆心，2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是（ ）
A.点O在⊙C外 B.点O在⊙C上 C.点O在⊙C内 D.不能确定
【答案】B
【详解】解：连接OC，由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，可得：
OC=12AB=2=r，故点O在⊙C上,
故选B.
【名师点睛】要确定点与圆的位置关系, 主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系, 本题可直角三角形斜边上的中线为斜边的一半算出点与圆心的距离d, 则d>r时, 点在圆外; 当d=r时, 点在圆上; 当d<r时,点在圆内.
典例2（2016·邯郸市期末）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（ ）
A.点D在⊙A外 B.点D在⊙A上 C.点D在⊙A内 D.无法确定
【答案】A
【解析】根据勾股定理求得斜边AB=4+16=25，
则AD=5，
∵5>2，
∴点在圆外.
故选A.
典例3（2019·雨花台区期末）已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是 （ ）
A．r ＜ 6 B．r ＞ 6 C．r ≥ 6 D．r ≤ 6
【答案】B
【详解】∵点A在半径为r的⊙O内，
∴OA小于r，
而OA=6，
∴r>6.
故选：B.
【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.
知识点二 三点定圆的方法
1） 经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．
2） 经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．
3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
典例1（2017·天桥区期末）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【答案】B
【详解】由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.
【名师点睛】本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.
典例2（2019·慈溪市期末）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A.勾股定理
B.直径所对的圆周角是直角
C.勾股定理的逆定理
D.90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B
【解析】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
故选：B．
【考点】作图—复杂作图；勾股定理的逆定理；圆周角定理．
知识点三 三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）外接圆圆心和三角形位置关系：
1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
典例1（2018·滨河新区期末）边长为1的正三角形的外接圆的半径为（ ）
A．12 B．32 C．33 D．36
【答案】C
【详解】如图所示，连接OB，OC，过O作OD⊥BC；
∵BC=1,
∴BD=12,
∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC=360°3=120°，
∵OB=OC，
∴∠BOD=120°2=60°，
∴∠OBD=30°，OB=BDcos30°=1232=33．
故选C．
【名师点睛】解决本题的关键是构造与外接圆半径相关的直角三角形．
典例2有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
故选B．
典例3（2019·重庆市期中）如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3=( )
A.60∘ B.75∘ C.90∘ D.105∘
【答案】C
【详解】如图，
∵OA=OB，
∴∠3=∠4，
同理，∠1=∠5，∠2=∠6，
∵∠3+∠4+∠1+∠5+∠2+∠6=180∘，
∴∠1+∠2+∠3=90∘，
故选C．
【名师点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键．
知识点四 反证法
反证法：首先假设某命题结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
典例1（2018·古田县期中）已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可以假设( )
A．∠A=∠B B．AB=BC C．∠B=∠C D．∠A=∠C
【答案】C
【详解】已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可以假设∠B=∠C,由“等角对等边”可得AB=AC,这与已知矛盾，所以∠B≠∠C.
故选：C
【名师点睛】本题考核知识点：反证法. 解题关键点：理解反证法的一般步骤.
典例2（2019·乳山市期末）用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是（ ）
A.a≤b B.a≠b C.a<b D.a=b
【答案】C
【详解】解：根据题意，判定与a≥b相矛盾的判断是a<b，故答案为C.
【名师点睛】此题主要考查对反证法的概念的理解，熟练掌握内涵，即可解题.
巩固训练
一、单选题（共10小题）
1．（2019·临清市期末）⊙O的半径为5cm，A是线段OP的中点，当OP=7cm时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定
【答案】A
【详解】∵OP=7cm，A是线段OP的中点，
∴OA=3.5cm，小于圆的半径5cm，
∴点A在圆内．
故选A．
【名师点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据OP的长和点A是OP的中点，得到OA=3.5cm，小于圆的半径相等，可以确定点A的位置．
2．（2019·合肥市期中）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最长为（ ）
A．5m B．4m C．3m D．2m
【答案】B
【详解】解：连接OA，交半圆O于E点，
在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，
所以OA=OB2+AB2
=10；
又OE=OB=6，
所以AE=OA-OE=4．
因此选用的绳子应该不大于4m，
故选：B．
【名师点睛】本题考查勾股定理的应用，确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．
3．（2018·海口市期末）设P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．2 C．4或10 D．2或5
【答案】B
【详解】解：∵P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，
∴⊙O的直径为：7-3=4，
∴⊙O的半径为2，
故选：B．
【名师点睛】本题考查点和圆的位置关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4．（2019·重庆市期中）已知⊙O的直径为10，点A在圆内，若OA的长为a，则a应满足( )
A．0≤a<5 B．a<5 C．0≤a<10 D．a<10
【答案】A
【详解】∵⊙O的直径为10，
∴⊙O的半径长为5，
∵点A在圆内，
∴OA的长a的取值范围为：0≤a<5，
故选A．
【名师点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
5．（2019·连云港市期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，若以A为圆心，4为半径作⊙A.下列四个点中，在⊙A外的是( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【详解】解：如下图,连接AC,
∵圆A的半径是4,AB=4,AD=3,
∴由勾股定理可知对角线AC=5,
∴D在圆A内,B在圆上,C在圆外,
故选C.
【名师点睛】本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出AC的长是解题关键.
6．（2018·降化县期末）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）
A.（0，0） B.（﹣2，1） C.（﹣2，﹣1） D.（0，﹣1）
【答案】C
【解析】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，
则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选C．
7．（2019·湖州市期中）抢凳子是小时候常玩的游戏，人围成圈将凳子放在中间，主持人开始敲鼓，此时人围着凳子按同一方向转圈.当敲击声停止时，就要抢坐在凳子上，因为凳子数量少于玩游戏的总人数，未抢坐到凳子上的玩家淘汰下场.现在甲、乙、丙3位同学准备玩抢凳子的游戏，谁先抢坐到凳子上谁获胜如图，三人已站定，主持人要在他们中间放一个凳子，为使游戏公平，凳子应放在图中三角形的( )
A．三条高的交点 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】D
【详解】要使游戏公平，那么凳子应该到三角形三个顶点的距离相等，所以凳子应该放在图中三角形的外心.
故选D．
【名师点睛】本题考查了三角形外心的意义，三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
8．（2018·福州市期中）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外接圆半径为（ ）
A．5 B．2.5 C．8 D．10
【答案】B
【详解】∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB=AC2+BC2=5 cm．
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的斜边为它的外接圆的直径，
∴它的外接圆的半径为2.5 cm．
故选B．
【名师点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键．
9．（2018·福州市期末）若正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶R∶a＝…（ ）
A．1:1:2 B．1:2:2 C．1:2:1 D．2:2:4
【答案】B
【详解】
作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．
在中心的直角三角形的角为360°÷4÷2=45°，
∴内切圆的半径为 a2，
外接圆的半径为 ，
∴r：R：a=1：2：2．
故选B．
【名师点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆，解题关键是构造直角三角形，把半径和边心距用边长表示出来．
10．（2018·眉山市期中）如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C
【详解】一个三角形三边垂直平分线的交点是这个三角形外接圆的圆心，
如果在外部，则这个三角形是钝角三角形．
故选C.
【名师点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，解题关键是画出图形即可求解．
二、填空题（共5小题）
11．（2018·路北区期末）已知平面上点P到圆周上的点的最长距离为8，最短距离为4，则此圆的半径为_____．
【答案】2或6
【详解】①当点在圆外时，
∵圆外一点和圆周的最短距离为4，最长距离为8，
∴圆的直径为8﹣4＝4，
∴该圆的半径是2；
②当点在圆内时，
∵点到圆周的最短距离为4，最长距离为8，
∴圆的直径＝8+4＝12，
∴圆的半径为6，
故答案为2或6．
【名师点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．
12．（2019·惠山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．
【答案】3<r<5.
【解析】根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是3<r<5.
13．（2019·台东市期中）若圆O的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（－4，3），则点P与⊙O的位置关系是 ________．
【答案】点P在圆上
【详解】∵点P的坐标是（-4，3），
∴OP=32+42=5，
∵OP等于圆O的半径，
∴点P在圆O上．
故答案为点P在圆O上．
【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
14．（2018·路北区期末）如图，⊙O是ΔABC的外接圆，∠A=45∘，，则⊙O的直径为__________．
【答案】
【解析】如图，连接OB，OC．
∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形．
又∵BC=4，∴BO=CO=BC•cos45°=22，∴⊙O的直径为42．
故答案为：42．
15．（2018·阳谷县期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，⊙O为△ABC的外接圆．如果BC=23，那么⊙O的半径为_____．
【答案】2
【详解】解：连接OC、OB，作OD⊥BC，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠DOC=60°，∠ODC=90°，
∴OC=DC32＝＝2，
故答案为：2．
【名师点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是利用圆心角与圆周角的关系得出∠BOC=120°．
三、解答题（共3小题）
16．（2018·路北区期末）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
【答案】（1）证明见解析（2）4
【解析】解：（1）证明：∵∠APC和∠ABC是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC。
又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°。
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°。
∴△ABC是等边三角形。
（2）连接OB，
∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心。
∴BO平分∠ABC。∴∠OBD=30°.∴OD=8×12=4。
（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一个内角都等于600，从而得证。
（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD，从而根据30度角所对边是斜边一半的性质，得OD=8×12=4
17．（2018·惠山区期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
【答案】（1）见解析；（2）（2，0）；（3）点D在⊙M内；
【解析】解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）；
（3）圆的半径AM=22+42=25．
线段MD=(5-2)2+22=13＜25，所以点D在⊙M内．
名师点睛：本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐标是解题的关键．
18．（2019·陕西中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高。请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆。（保留作图痕迹，不写做法）
【答案】如图所示见解析.
【详解】如图所示，⊙O即为△ABC的外接圆.
【名师点睛】本题考查了尺规作图——三角形的外接圆，正确把握三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键.
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