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真题演练集训
1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A. B．
C. D．
答案：D
解析：由题意得，A＝{x|1<x<3}，B＝，则A∩B＝.故选D.
2．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
答案：C
解析：由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，∴ A∪B＝{0,1,2,3}，故选C.
3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]设集合S＝{x|(x－2)·(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( )
A．[2,3]
B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(0,2]∪[3，＋∞)
答案：D
解析：集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)．
4．[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( )
A．{－1,0} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
答案：A
解析：由题意知B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.
5．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝( )
A．[－2，－1] B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
答案：A
解析：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A.
6．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )
A．{1} B．{2}
C．{0,1} D．{1,2}
答案：D
解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．
课外拓展阅读
集合运算问题的三种解题模板
集合的基本运算包括交集、并集、补集，是历年高考必考的内容．解决集合的基本运算问题，要先明确集合中元素的特征，求出每个集合，然后理清几个集合之间的关系，最后利用列举法或借助数轴、Venn图等进行基本运算，从而得出结果．
方法一 列举法
列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法．此种方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题，其基本的解题步骤是：
(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．
(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．
(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法写出所求集合中的所有元素．
[典例1] 设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )
A．7 B．10
C．25 D．52
[思路分析]
[答案] B
[解析] 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，
所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．
由x∈A∩B，可知x可取0,1；
由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.
所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：
y
x
－1
0
1
2
3
0
(0，－1)
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(0,3)
1
(1，－1)
(1,0)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
所以A*B中的元素共有10个．
方法二 数形结合法
数形结合法就是利用数轴或Venn图或平面直角坐标系中的图象表示出相关集合，然后根据图形求解集合的补集或者进行相关集合的交集、并集的基本运算．其求解的基本步骤是：
(1)画图形：根据题设条件给出的几何意义，画出与集合对应的几何图形或函数图象．
(2)定区域：利用数轴、韦恩(Venn)图或直角坐标系中的函数图象确定集合运算所表示的平面区域．
(3)求结果：根据图形确定相关运算的结果或区域所表示的几何图形的面积．
[典例2] 若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝( )
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1} D．∅
[思路分析]
[答案] C
[解析] 因为集合A表示函数y＝中x的取值范围，即该函数的定义域，
由1－|x|≥0得－1≤x≤1，
即A＝{x|－1≤x≤1}，
又集合B表示函数y＝x2在定义域R上的值域，
由x2≥0得B＝{y|y≥0}，所以结合数轴，
如图所示阴影部分，可得A∩B＝{x|0≤x≤1}．
方法三 特值法
高考对集合的基本运算的考查以选择题为主，所以我们可以利用特值法解题，即根据选项之间的明显差异，选择一些特殊元素进行检验排除，从而得到正确选项．其求解的基本步骤如下：
(1)辨差异：分析各选项，辨别各选项的差异．
(2)定特殊：根据选项的差异，选定一些特殊的元素．
(3)验排除：将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项．
(4)定结果：根据排除的结果确定正确的选项．
[典例3] [2017·河北衡水中学模拟]已知U为全集，集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|2<x<4}，那么集合B∩(∁UA)＝( )
A．{x|－1≤x≤4} B．{x|2<x≤3}
C．{x|2≤x<3} D．{x|－1<x<4}
[思路分析]
―→―→―→―→
[答案] B
[解析] A项与D项的不同之处在于元素－1,4是否属于该集合；B项与C项的区别在于2与3是否属于该集合．
A，D与B，C的区别可通过检验0是否属于该集合来判断．因为0∉B，所以0∉B∩(∁UA)，故可排除A，D；因为2∉B，所以2∉B∩(∁UA)，故可排除C.
归纳总结
用特值法求解集合运算问题的关键在于根据各选项的差异灵活选择适当的特殊元素，然后根据特殊元素与各集合的关系检验其是否满足运算，从而排除选项．
忽视空集是任何集合的子集
勿忘空集和集合本身．由于∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记．
[典例4] 已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为( )
A．[－1,2) B．[－1,3]
C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)
[错解] 由x2－x－12≤0，得
(x＋3)(x－4)≤0，
即－3≤x≤4，
所以A＝{x|－3≤x≤4}．
又A∩B＝B，所以B⊆A，
所以
解得－1≤m≤3.故选B.
[剖析] 集合B为不等式2m－1<x<m＋1的解集，但m的取值不同，解集也不同．当m＋1≤2m－1时，集合B为空集，而空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集，求解时应分B＝∅和B≠∅两种情况，结合数轴，讨论求解．
[正解] 由x2－x－12≤0，得
(x＋3)(x－4)≤0，
即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．
又A∩B＝B，所以B⊆A.
(1)当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠∅时，有
解得－1≤m<2.
综上，m的取值范围为[－1，＋∞)．
[答案] D
易错提醒
当题目中出现A⊆B或A∩B＝A或A∪B＝B时，在解题过程中务必注意对集合A进行分类讨论，即分A＝∅和A≠∅两种情况进行讨论，并注意端点值的检验．
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