江西专版2020中考数学复习方案第三单元函数课时训练13二次函数的图象与性质二.docx

课时训练(十三)　二次函数的图象与性质(二)
(限时:60分钟)

|夯实基础|
1.图K13-1是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是 (　　)

图K13-1
A.b2<4ac B.ac>0 C.2a-b=0 D.a-b+c=0
2.[2019·凉山州]二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图K13-2,有以下结论:①3a-b=0;②b2-4ac>0;③5a-2b+c>0;④4b+3c>0.其中错误结论的个数是 (　　)

图K13-2
A.1 B.2 C.3 D.4
3.[2017·苏州]若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为 (　　)
A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6 C.x1=32,x2=52 D.x1=-4,x2=0
4.已知m>0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1<x2),则下列结论正确的是 (　　)
A.x1<-1<2<x2 B.-1<x1<2<x2
C.-1<x1<x2<2 D.x1<-1<x2<2
5.[2019·齐齐哈尔]如图K13-3,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=-12.结合图象分析下列结论:①abc>0;②3a+c>0;③当x<0时,y随x的增大而增大;④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-13,x2=12;⑤b2-4ac4a<0;⑥若m,n(m<n)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根,则m<-3,n>2.其中正确的结论有 (　　)

图K13-3
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
6.[2018·大庆]如图K13-4,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),点B(3,0),点C(4,y1),若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:
①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为-4a;②若-1≤x2≤4,则0≤y2≤5a;③若y2>y1,则x2>4;④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为-1和13.
其中正确结论的个数是 (　　)

图K13-4
A.1 B.2
C.3 D.4
7.[2018·湖州]在平面直角坐标系xOy中,已知点M,N的坐标分别为(-1,2),(2,1),若抛物线y=ax2-x+2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点,则a的取值范围是 (　　)
A.a≤-1或14≤a<13
B.14≤a<13
C.a≤14或a>13
D.a≤-1或a≥14
8.[2019·贺州]已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,其部分图象如图K13-5,下列说法中:①abc<0;②a-b+c<0;③3a+c=0;④当-1<x<3时,y>0.正确的是　　　(填写序号). 

图K13-5
9.已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是　　　　. 
10.[2019·镇江]已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是　　　　. 
11.[2017·常州]已知二次函数y=ax2+bx-3自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表,则在实数范围内能使得y-5>0成立的x的取值范围是　　　　. 
x
…
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
-3
-4
-3
0
…
12.已知a,b,c为实数,点A(a+1,b),B(a+2,c)在二次函数y=x2-2ax+3的图象上,则b,c的大小关系是b　　　　c.(用“>”或“<”填空) 

13.[2019·云南]已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值;
(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.

|拓展提升|
14.[2019·仙桃]如图K13-6,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(12,0),B(8,6),C(0,6).动点P从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动;动点Q从点B同时出发,以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒,PQ2=y.
(1)直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围:　　　　　　　　　　. 
(2)当PQ=35时,求t的值.
(3)连接OB交PQ于点D,若双曲线y=kx(k≠0)经过点D,问k的值是否变化?若不变化,请求出k的值;若变化,请说明理由.

图K13-6

15.[2019·临沂]在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A,B.
(1)求a,b满足的关系式及c的值;
(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围;
(3)如图K13-7,当a=-1时,在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积为1,若存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

图K13-7

【参考答案】
1.D
2.A　[解析]根据对称轴-b2a=-32得b=3a,故可得3a-b=0,所以结论①正确.由于抛物线与x轴有两个不同的交点,所以b2-4ac>0,结论②正确.根据结论①可知b=3a,所以5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知a<0,c>0,所以5a-2b+c=-a+c>0,结论③正确.根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两点),所以当x=1时,y=a+b+c<0.因为a=13b,所以43b+c<0,所以4b+3c<0,所以结论④错误.故选A.
3.A　[解析]根据“二次函数图象上点的坐标特征”可得4a+1=0,解得a=-14,则-14(x-2)2+1=0,解一元二次方程得x1=0,x2=4.
4.A　[解析]关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2,可以看作二次函数m=(x+1)·(x-2)与x轴交点的横坐标,
∵二次函数m=(x+1)(x-2)与x轴交点坐标为(-1,0),(2,0),如图,

当m>0时,就是抛物线位于x轴上方的部分,此时x<-1,或x>2.
又∵x1<x2,∴x1<-1,x2>2.∴x1<-1<2<x2.故选A.
5.C　[解析]①由图象可知a<0,b<0,c>0,∴abc>0,∴①正确.②∵对称轴是直线x=-12,∴a=b.∵图象与x轴的一个交点是(-3,0),∴另一个交点坐标是(2,0),把(2,0)代入解析式可得4a+2b+c=0,∴6a+c=0,∴3a+c=-3a.∵a<0,∴-3a>0,∴3a+c>0,故②正确.③由图象可知,当-12<x<0时,y随x的增大而减小,∴当x<0时,y随x的增大而增大是错误的.④∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=-3,x2=2,∴一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=-13,x2=12,正确.⑤由图象顶点的纵坐标大于0可知,4ac-b24a>0,∴b2-4ac4a<0正确;⑥若m,n(m<n)为方程a(x+3)(x-2)+3=0的两个根,则a(x+3)·(x-2)=-3,由图象可知,当y=-3时,方程的两根为m,n,且m<-3,n>2,正确.综上,正确的有5个.故选C.
6.B　[解析]代入A点坐标得到0=a-b+c,顶点的横坐标为1,所以-b2a=1,整理得b+c=-5a,所以最小值为a+b+c=a+(-5a)=-4a,①正确;当-1≤x2≤4时,最低点为顶点,所以y的最小值为-4a,所以②错误;y2>y1说明D点在C点的上方,这有两种情况,所以③错误;将方程的两个根代入后得到0=a-b+c,0=9a+3b+c,所以④正确.
7.A　[解析]分a>0和a<0两种情况讨论.原二次函数必经过点(0,2),且对称轴是直线x=12a.

当a<0时,如图①,对称轴在y轴的左侧,要保证抛物线和线段有两个交点,只需要抛物线上横坐标是-1的点在点M的下方或经过点M即可.∴a+1+2≤2.∴a≤-1.
当a>0时,如图②,对称轴在y轴右侧,要保证抛物线和线段有两个交点,需要联立抛物线和直线的解析式,让判别式大于0,且抛物线上横坐标是2的点在点N的上方或经过点N.
设一次函数的解析式为y=kx+b,将M(-1,2)和N(2,1)代入得2=-k+b,1=2k+b,
解得k=-13,b=53.∴y=-13x+53.
令ax2-x+2=-13x+53,则3ax2-2x+1=0.
判别式为4-4×3a×1>0.解得a<13.
当x=2时,代入抛物线解析式得y=4a-2+2=4a.
令y≥1,则有4a≥1.∴a≥14.
∴a的取值范围是14≤a<13.
综上所述,a的取值范围是a≤-1或14≤a<13.故选A.
8.①③④　[解析]根据图象可得a<0,c>0,对称轴为直线x=-b2a=1,∴b=-2a,∴b>0,∴abc<0,故①正确.把x=-1代入函数关系式y=ax2+bx+c中得y=a-b+c.由抛物线的对称轴是直线x=1,且过点(3,0),可得当x=-1时,y=0,∴a-b+c=0,故②错误.∵b=-2a,∴a-(-2a)+c=0,即3a+c=0,故③正确.
由图可以直接得出④正确.故答案为①③④.
9.k<4
10.74　[解析]∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1(a≠0),∴顶点为(-2,1).又抛物线过点A(m,3),B(n,3)两点,∴a>0,∴对称轴为直线x=-2,
∵线段AB的长不大于4,∴4a+1≥3,∴a≥12,∴a2+a+1的最小值为122+12+1=74.
11.x<-2或x>4　[解析]由表中自变量x与对应的函数值y可以知道,二次函数y=ax2+bx-3图象的顶点坐标为(1,-4),抛物线开口向上,当x=4或-2时,y=5,∴能使y-5>0成立的x的取值范围是x<-2或x>4.
12.<
13.解:(1)∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,∴x=-k2+k-62=0,
即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.
当k=2时,抛物线的解析式为y=x2+6,与x轴无交点,不满足题意,舍去;
当k=-3时,抛物线的解析式为y=x2-9,与x轴有两个交点,满足题意,∴k=-3.
(2)∵点P到y轴的距离为2,
∴点P的横坐标为-2或2.
当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5.
∴点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).
14.解:(1)y=25t2-80t+100(0≤t≤4)
[解析]易得BC∥x轴.
过Q点作QD⊥OA,垂足为D,

∴四边形CODQ为矩形,∴QD=OC=6.
当运动时间为t秒时,P(3t,0),Q(8-2t,6),D(8-2t,0),
∴PD=|8-2t-3t|=|8-5t|.
在Rt△PQD中,PQ 2=QD 2+PD 2,
∴y=|8-5t|2+36=25t2-80t+100(0≤t≤4).
(2)PQ=35,即y=PQ2=45,
∴(8-5t)2+36=45,
解得t1=1,t2=115.
(3)不变.∵QB=2t,OP=3t,∴OPQB=32.
∵QB∥OP,∴ODDB=OPQB=32,
∵OB的长度是定值,∴D的位置不变.
∵B(8,6),∴D245,185,∴k=43225.

15.解:(1)根据直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,令x=0,得y=2,
令y=0,得x=-2,
故点A,B的坐标分别为(-2,0),(0,2).
将B(0,2)的坐标代入y=ax2+bx+c,得c=2,
则抛物线的解析式为y=ax2+bx+2,
将点A坐标代入上式得4a-2b+2=0,
整理得b=2a+1.
(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,
则函数图象的对称轴x=-b2a≥0,而b=2a+1,
即-2a+12a≥0,解得-12≤a<0,
故a的取值范围为-12≤a<0.
(3)当a=-1时,抛物线的解析式为y=-x2-x+2.假设存在符合题意的点P.
过点P作直线l∥AB,作PQ∥y轴交BA于点Q,作PH⊥AB于点H,

∵A(-2,0),B(0,2),
∴OA=OB,AB=22,
∴∠BAO=45°,
∴∠PQH=45°,
S△PAB=12×AB×PH=12×22×PQ×22=1,
解得PQ=1,则yP-yQ=1,
在直线AB下方作直线m,使直线m和l与直线AB等距离,
则直线m与抛物线的两个交点分别与点A,B组成的三角形的面积也为1,
故|yP-yQ|=1.
设点P(m,-m2-m+2),则点Q(m,m+2),
∴-m2-m+2-m-2=±1,
解得m=-1或-1±2,
故点P的坐标为(-1,2)或(-1+2,2)或(-1-2,-2).

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