呼和浩特专版2020中考数学复习方案第三单元函数及其图象课时训练13二次函数的图象与性质试题.docx

课时训练(十三)　二次函数的图象与性质
(限时:50分钟)

|夯实基础|
1.[2019·衢州]二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是 (　　)
A.(1,3) B.(1,-3)
C.(-1,3) D.(-1,-3)
2.[2019·兰州]已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是(　　)
A.2>y1>y2 B.2>y2>y1
C.y1>y2>2 D.y2>y1>2
3.[2019·济宁]将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是 (　　)
A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-1)2-3
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-2
4.[2019·自贡]一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的图象如图K13-1所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是 (　　)

图K13-1

图K13-2
5.[2019·遂宁]二次函数y=x2-ax+b的图象如图K13-3所示,对称轴为直线x=2,下列结论不正确的是 (　　)

图K13-3
A.a=4 B.当b=-4时,顶点的坐标为(2,-8)
C.当x=-1时,b>-5 D.当x>3时,y随x的增大而增大

6.[2019·泸州]已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点,且当x<-1时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是 (　　)
A.a<2 B.a>-1 C.-1<a≤2 D.-1≤a<2
7.[2019·安顺]如图K13-4,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,则由抛物线的特征写出如下结论:
①abc>0; ②4ac-b2>0; ③a-b+c>0; ④ac+b+1=0.
其中正确的个数是 (　　)

图K13-4
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
8.[2019·武威]将二次函数y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式为　　　　. 
9.[2019·天水]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K13-5所示,若M=4a+2b,N=a-b,则M,N的大小关系为M　　　　N.(填“>”“=”或“<”) 

图K13-5
10.[2019·潍坊]如图K13-6,直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点.当△PAB的周长最小时,S△PAB=　　　　. 

图K13-6
11.[2019·乐山]如图K13-7,点P是双曲线C:y=4x(x>0)上的一点,过点P作x轴的垂线交直线AB:y=12x-2于点Q,连接OP,OQ.当点P在曲线C上运动,且点P在Q的上方时,△POQ面积的最大值是　　　　. 

图K13-7
12.对于抛物线y=-12x2-x+32.
(1)求出开口方向、对称轴及顶点D的坐标;
(2)求出它与y轴的交点C的坐标;
(3)求出它与x轴的交点A,B的坐标(A在B左侧);
(4)画出图象;
(5)当x为何值时,y随x的增大而增大;
(6)判断△DAB的形状;
(7)求O到AC的距离;
(8)求△ACD的面积.

图K13-8

13.[2019·呼和浩特一模]已知等式12y-12ax2+2a-1=0.
(1)若等式中,已知a是非零常量,请写出因变量y与自变量x的函数解析式;当-1≤x≤3时,求y的最大值和最小值及对应的x的取值.
(2)若等式中,x是不等于±2的常量,请写出因变量y与自变量a的函数解析式,并判断x在什么范围内取值时,y随a的增大而增大.

|拓展提升|
14.[2019·镇江]已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是　　　　. 
15.[2019·长春]如图K13-9,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax+83(a>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则ɑ的值为　　　　. 

图K13-9

【参考答案】
1.A
2.A
3.D
4.A　[解析]∵双曲线y=cx经过一、三象限,
∴c>0.∴抛物线与y轴交于正半轴.
∵直线y=ax+b经过第一、二、四象限,
∴a<0,b>0,即-b2a>0.
∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下,对称轴在y轴的右侧.
故选A.
5.C　[解析]选项A,由对称轴为直线x=2可得--a2=2,∴a=4,正确;
选项B,∵a=4,b=-4,∴解析式为y=x2-4x-4,当x=2时,y=-8,∴顶点的坐标为(2,-8),正确;
选项C,由图象可知,x=-1时,y=0,代入解析式得b=-5,∴错误;
选项D,由图象可以看出当x>3时,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,正确,故选C.
6.D　[解析]y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6,
∵抛物线与x轴没有公共点,
∴Δ=(-2a)2-4(a2-3a+6)<0,解得a<2,
∵抛物线的对称轴为直线x=--2a2=a,抛物线开口向上,
且当x<-1时,y随x的增大而减小,
∴a≥-1,
∴实数a的取值范围是-1≤a<2.
故选D.
7.B　[解析]①从图象中易知a>0,b<0,c<0,故abc>0,正确;
②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即4ac-b2<0,故错误;
③当x=-1时y=a-b+c,由图象知(-1,a-b+c)在第二象限,∴a-b+c>0,故正确;
④由题意知C(0,c),则OC=|c|,
∵OA=OC=|c|,∴A(c,0),代入抛物线解析式得ac2+bc+c=0,又c≠0,
∴ac+b+1=0,故正确.
8.y=(x-2)2+1　[解析]y=x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1,故答案为y=(x-2)2+1.
9.<　[解析]当x=-1时,y=a-b+c>0,当x=2时,
y=4a+2b+c<0,
M-N=4a+2b-(a-b)=4a+2b+c-(a-b+c)<0,即M<N,
故答案为:<.
10.125　[解析]解方程组y=x+1,y=x2-4x+5,
得x1=1,y1=2,x2=4,y2=5,
∴A(1,2),B(4,5),
作点A关于y轴的对称点A',连接A'B交y轴于点P.

则A'(-1,2).
设直线A'B的解析式为y=kx+b,
则-k+b=2,4k+b=5,解得k=35,b=135,
∴直线A'B的解析式为y=35x+135.
∴当△PAB的周长最小时,点P的坐标为0,135.
设直线AB与y轴的交点为C,则C(0,1),
∴S△PAB=S△PCB-S△PCA=12×135-1×4-12×135-1×1=125.
11.3　[解析]∵点P是双曲线C:y=4x(x>0)上的一点,∴可设点P坐标为m,4m,
∵PQ⊥x轴,Q在y=12x-2的图象上,
∴点Q坐标为m,12m-2,PQ=4m-12m-2,
∴△POQ的面积=12×m×4m-(12m-2)=-14(m-2)2+3,∴当m=2时,△POQ面积的最大值为3.
12.解:(1)∵y=-12x2-x+32=-12(x+1)2+2,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点为D(-1,2).
(2)令x=0,得y=32,∴C0,32.
(3)令y=0,得-12x2-x+32=0,
解得x1=1,x2=-3,∴A(-3,0),B(1,0).
(4)如图:

(5)当x≤-1时,y随x的增大而增大.
(6)△DAB是等腰直角三角形.
(7)过O作OE⊥AC交AC于点E.
易证△AOC∽△OEC,∴AOOE=ACOC,即3OE=AC32.
∵AC=32+(32) 2=32 5,∴OE=355,
∴O到AC的距离为355.
(8)过D作DF⊥y轴于F,
则S△ACD=S梯形ADFO-S△DFC-S△AOC
=(1+3)×22-1×12×12-12×3×32
=4-14-94
=32.
13.解:(1)由条件变形得:y=ax2-4a+2.
∵a≠0,
∴函数y是关于x的二次函数,且对称轴为y轴,
当a>0时,函数图象开口向上,且在x>0时,y随x的增大而增大,x<0时,y随x的增大而减小,
又-1≤x≤3,
∴x=0时,函数取得最小值ymin=-4a+2,
x=3时,函数取得最大值ymax=9a-4a+2=5a+2,
当a<0时,函数图象开口向下,且在x>0时,y随x的增大而减小,x<0时,y随x的增大而增大.
又-1≤x≤3,
∴x=0时,函数取得最大值ymax=-4a+2,
x=3时,函数取得最小值ymin=9a-4a+2=5a+2.
(2)若x是常量,a是自变量,则原式可变形为:
y=(x2-4)a+2.
当x2-4≠0时,函数y是关于a的一次函数.
所以当x2-4>0时,y随a的增大而增大,
解得x>2或x<-2.
14.74　[解析]∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1(a≠0),∴顶点坐标为(-2,1),
∵抛物线过点A(m,3),B(n,3)两点,∴a>0,
∵线段AB的长不大于4,
∴4a+1≥3,∴a≥12,
∴a2+a+1的最小值为:122+12+1=74.
故答案为74.
15.2　[解析]在y=ax2-2ax+83中,令x=0,可得y=83,
∴点A的坐标为0,83,
∵y=ax2-2ax+83=a(x-1)2+83-a,
∴抛物线的顶点P的坐标为1,83-a,点M的坐标为2,83.
∴直线OP的函数表达式为y=83-ax,
令y=83,可得x=88-3a,
∴点B的坐标为88-3a,83.
∵M为线段AB的中点,
∴88-3a=4,解得a=2,经检验a=2是方程的根.
故答案为2.
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