呼和浩特专版2020中考数学复习方案第三单元函数及其图象课时训练14二次函数的简单综合试题.docx

课时训练(十四)　二次函数的简单综合
(限时:50分钟)

|夯实基础|
1.[2019·荆门]抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.[2019·梧州]已知m>0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1<x2),则下列结论正确的是 (　　)
A.x1<-1<2<x2 B.-1<x1<2<x2
C.-1<x1<x2<2 D.x1<-1<x2<2
3.[2019·唐山古冶区一模]如图K14-1,反比例函数y=kx的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点-12,m(m>0),则有 (　　)

图K14-1
A.a=b+2k B.a=b-2k
C.k>b>0 D.a<k<0
4.[2019·杭州]在平面直角坐标系中,已知a≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点,则 (　　)
A.M=N-1或M=N+1
B.M=N-1或M=N+2
C.M=N或M=N+1
D.M=N或M=N-1
5.[2019·济宁]如图K14-2,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集是　　　　. 

图K14-2
6.[2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图象的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为　　　　. 

7.[2019·广元]如图K14-3,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(-1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M=4a+2b+c,则M的取值范围是　　　　. 

图K14-3
8.[2019·雅安]已知函数y=-x2+2x(x>0),x(x≤0)的图象如图K14-4所示,若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点,则m的取值范围为　　　　. 

图K14-4
9.[2019·达州]如图K14-5,抛物线y=-x2+2x+m+1(m为常数)交y轴于点A,与x轴的一个交点在(2,0)和(3,0)之间,顶点为B.
①抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点;②若点M(-2,y1)、点N12,y2、点P(2,y3)在该函数图象上,则y1<y2<y3;③将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得的抛物线解析式为y=-(x+1)2+m;④点A关于直线x=1的对称点为C,点D,E分别在x轴和y轴上,当m=1时,四边形BCDE周长的最小值为34+2.其中正确判断的序号是　　　　. 

图K14-5

10.[2019·赤峰]如图K14-6,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B,C两点,抛物线y=-x2+bx+c经过点B,C,与x轴另一交点为A,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小,求EC+ED的最小值.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得∠APB=∠OCB?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.

图K14-6

|拓展提升|
11.[2019·安徽]在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点,若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是　　　　. 

图K14-7
12.[2019·遂宁]如图K14-7,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O落在坐标原点,点A,点C分别在x轴,y轴的正半轴上,G为线段OA上一点,将△OCG沿CG翻折,O点恰好落在对角线AC上的点P处,反比例函数y=12x图象经过点B,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过C(0,3),G,A三点,则该二次函数的解析式为　　　　　(填一般式). 
13.[2019·盐城]如图K14-8所示,二次函数y=k(x-1)2+2的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A,B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x轴、y轴交于C,D两点,其中,k<0.
(1)求A,B两点的横坐标;
(2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值;
(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

图K14-8

【参考答案】
1.C　[解析]当x=0时,y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-4),
当y=0时,-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),
所以抛物线与坐标轴有2个交点.
故选C.
2.A　[解析]关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2,可以看作二次函数m=(x+1)(x-2)图象与x轴交点的横坐标,
二次函数m=(x+1)(x-2)与x轴交点坐标为(-1,0),(2,0),如图:

当m>0时,就是抛物线位于x轴上方的部分,
此时x<-1或x>2,
又∵x1<x2,
∴x1<-1<2<x2,
故选A.
3.D　[解析]∵y=ax2+bx图象的顶点坐标为-12,m,
∴-b2a=-12,即b=a,∴m=-b24a=-a4,
∴顶点坐标为-12,-a4,
把x=-12,y=-a4代入反比例函数解析式得:k=a8,
由图象知:抛物线的开口向下,
∴a<0,
∴a<k<0,
故选D.
4.C　[解析]∵y=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,
∴Δ=(a+b)2-4ab,又∵a≠b,
∴(a+b)2-4ab=(a-b)2>0,
∴函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点,
∴M=2.
∵函数y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1,
∴当a≠b,ab≠0时,(a+b)2-4ab=(a-b)2>0,
函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点,
即N=2,此时M=N;
当ab=0时,不妨令a=0,
∵a≠b,
∴b≠0,函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数,与x轴有一个交点,
即N=1,此时M=N+1.
综上可知,M=N或M=N+1.
故选C.
5.x<-3或x>1
6.x1=2,x2=4　[解析]∵二次函数y=x2+bx-5图象的对称轴为直线x=2,
∴-b2=2,∴b=-4,
∴原方程化为x2-4x-5=2x-13,
解得x1=2,x2=4.
7.-6<M<6　[解析]∵y=ax2+bx+c过点(-1,0),(0,2),
∴c=2,a-b+2=0,
∴b=a+2,
∵顶点在第一象限,
∴-b2a>0,
∵a<0,∴b>0,∴a+2>0,a>-2,
∴-2<a<0.
M=4a+2b+c=4a+2(a+2)+2=6a+6,
∴-6<M<6.
8.0<m<14　[解析]由y=x+m与y=-x2+2x得x+m=-x2+2x,整理得x2-x+m=0,当有两个交点时,b2-4ac=(-1)2-4m>0,解得m<14,当直线y=x+m经过原点时与函数y=-x2+2x(x>0),x(x≤0)的图象有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,∴m>0,
∴m的取值范围为0<m<14,故答案为0<m<14.
9.①③④　[解析]m+2=-x2+2x+m+1,
得:x2-2x+1=0,
∵b2-4ac=0,
∴抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点,①正确;
由图可得:y1<y3<y2,故②错误;
y=-x2+2x+m+1=-(x-1)2+m+2,
将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,
所得的抛物线解析式为y=-(x+1)2+m,故③正确;
当m=1时,抛物线的解析式为y=-x2+2x+2,
∴A(0,2),C(2,2),B(1,3),作点B关于y轴的对称点B'(-1,3),作点C关于x轴的对称点C'(2,-2),连接B'C',与x轴、y轴分别交于D,E两点.如图,

则BE+ED+CD+BC=B'E+ED+C'D+BC=B'C'+BC,根据两点之间线段最短,知B'C'最短,而BC的长度为一定值,
∴此时,四边形BCDE周长=B'C'+BC最小,为:B'M2+C'M2+BM2+CM2=32+52+12+12=34+2,
故④正确.
故答案为:①③④.
10.解:(1)直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于B,C两点,则点B,C的坐标分别为(3,0),(0,3),
将点B,C的坐标代入y=-x2+bx+c得:-9+3b+c=0,c=3,解得:b=2,c=3,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)如图①,作点C关于x轴的对称点C',连接C'D交x轴于点E,连接EC,则此时EC+ED的值最小,

∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线顶点坐标为(1,4),易知点C'(0,-3),
可得直线C'D的表达式为y=7x-3,
当y=0时,x=37,故点E37,0,EC+ED的最小值为C'D=12+(4+3)2=52.
(3)①当点P在x轴上方时,如图②,

令y=0,则x=-1或3,故A(-1,0).
∵OB=OC=3,∴∠OCB=45°=∠APB,
过点B作BH⊥AP,则PH=BH.设PH=BH=m,
则PB=PA=2m,
由勾股定理得:AB2=AH2+BH2,
∴16=m2+(2m-m)2,
解得:m2=8+42,
则PB2=2m2=16+82,
则yP=PB2-22=2+22.
②当点P在x轴下方时,则yP=-2-22.
故点P的坐标为(1,2+22)或(1,-2-22).
11.a>1或a<-1　[解析] 假设函数y=x-a+1与y=x2-2ax图象的交点在x轴上,则由x-a+1=0,得x=a-1,代入二次函数的表达式中,得:(a-1)2-2a(a-1)=0,解得a=1或a=-1.
当a>1时,随着a的增大,直线y=x-a+1向右平移,抛物线与x轴的交点(2a,0)向右平移,如图,此时直线y=x-a+1与抛物线的交点位于第四象限;当a<-1时,随着|a|的增大,直线y=x-a+1向左平移,抛物线与x轴的交点(2a,0)向左平移,此时直线y=x-a+1与抛物线的交点位于第三象限.
综上所述,a的取值范围为a>1或a<-1.

12.y=12x2-114x+3　[解析]∵四边形OABC是矩形,C(0,3),
∴B点的纵坐标为3,
∵反比例函数y=12x的图象经过点B,
∴B(4,3),A(4,0),∴OA=4,
∵C(0,3),∴OC=3,
∴Rt△ACO中,AC=5.
设G(m,0),则OG=m,
由翻折得GP=OG=m,CP=CO=3,
∴AP=2,AG=4-m,
在Rt△AGP中,m2+22=(4-m)2,
解得m=32,∴G32,0,
∵A(4,0),C(0,3),G32,0,
∴解析式为y=12x2-114x+3.
13.【思路分析】(1)求交点坐标,只需联立成方程组求解即可;
(2)是等腰三角形存在性问题,因为OA是腰已经确定,所以分两种情况讨论;
(3)是角度(二倍角)存在性问题,利用垂直平分线及三角形外角的性质构造出一个角等于∠ODC,用相关的点坐标表示线段长,然后求出该角的正切值,利用正切值建立方程求解即可.但是本问需要对点B的位置进行讨论,分点B在点C的左侧还是右侧两种情况.
解:(1)∵A,B是抛物线y=k(x-1)2+2与直线y=kx-k+2的交点,
∴y=k(x-1)2+2,y=kx-k+2,
∴k(x-1)2+2=k(x-1)+2,
∴k(x-1)(x-2)=0.
∴x1=1,x2=2,∴x1=1,y1=2,x2=2,y2=k+2.
∵B点在A点的右侧,
∴A(1,2),B(2,2+k),A点横坐标是1,B点横坐标是2.
(2)由(1)可知A(1,2),B(2,2+k),
∵O(0,0),
∴OA=5,OB=4+(k+2)2,AB=k2+1,
∵△OAB是以OA为腰的等腰三角形,
∴分为两种情况:OA=AB或OA=OB.
当OA=AB时,即5=k2+1,
∴k2=4,∴k=±2,
∵k<0,∴k=-2.
当OA=OB时,即5=4+(k+2)2,
∴(k+2)2=1,∴k=-1或k=-3.
综上所述,k=-1或k=-2或k=-3.
(3)存在,k=-3或k=-4-73.
由(1)可知A(1,2),B(2,2+k).根据题意分为两种情况:点B在点C左侧,点B在点C右侧.
当点B在点C左侧时,2+k>0,∴0>k>-2.
如图①,过点B作BH⊥x轴于点H,作BE的垂直平分线交x轴于点F,连接BF,

∴BF=EF,∴∠BEC=∠EBF,
∴∠BFH=2∠BEC,
设BF=EF=m,易得E(1,0),H(2,0),
∴EH=1,∴FH=1-m.
在Rt△BFH中,由BH2+FH2=BF2得(k+2)2+(1-m)2=m2,
∴m=k2+4k+52,∴FH=1-m=-k2-4k-32.
∴tan∠BFH=BHFH=4+2k-k2-4k-3.
∵∠ODC=2∠BEC,∴∠ODC=∠BFH,
∴tan∠ODC=tan∠BFH.
∵C1-2k,0,∴OC=1-2k,
∵D(0,-k+2),∴OD=-k+2,
∴tan∠ODC=OCOD=-1k.
∴-1k=4+2k-k2-4k-3,解得k=±3.
∵k<0,∴k=-3.
当点B在点C右侧时,2+k<0,∴k<-2.
如图②,过点B作BM⊥x轴于点M,作BE的垂直平分线交x轴于点N,连接BN.

∴BN=EN,∴∠BNM=2∠BEC.
易得E(1,0),M(2,0),∴EM=1,
设BN=EN=n,则MN=1-n.
在Rt△BMN中,由BN2=BM2+MN2得n2=(k+2)2+(1-n)2,
∴n=k2+4k+52,∴MN=1-n=-k2-4k-32.
∵BM=-(k+2),
∴tan∠BNM=BMMN=4+2kk2+4k+3.
∵∠ODC=2∠BEC,∴∠ODC=∠BNM,
∴tan∠ODC=tan∠BNM.
∵C1-2k,0,∴OC=1-2k,
∵D(0,-k+2),∴OD=2-k,
∴tan∠ODC=OCOD=1-2k2-k=-1k,
∴-1k=4+2kk2+4k+3,化简得3k2+8k+3=0,
解得k=-4±73,∵k<-2,∴k=-4-73.
综上所述,k=-3或-4-73.
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